Zueinander orthogonale Vektoren - prüfen ob Raute oder Quadrat

Question

ich habe hier eine Aufgabe und soll prüfen, ob es sich um eine Raute oder um ein Quadrat handelt. Wir (meine Schulklasse und ich) haben a) bereits gemeinsam gemacht, jedoch habe ich beim Wiederholen der Aufgaben einen Fehler entdeckt (glaube ich zumindest). Und zwar ist das folgende Viereck ABCD gegeben und geprüft werden soll, ob es sich um eine Raute oder ein Quadrat handelt:

a) A (6|1|7), B (5|1|8), C (4|1|7), D (5|1|6)

AB (-> über AB) = (-1|0|1)

BC (-> über BC) = (-1|0|-1)          So, jetzt hier die Frage. Ist das letzte Ergebnis -1 richtig? Weil unser Lehrer hat dort eine 1 geschrieben. -1 muss doch richtig sein, denn, die 7 von C (4|1|7) minus die 8 von B (5|1|8) sind doch -1 und nicht 1, oder??

Dann habe ich halt weiter gemacht, indem ich (-1|0|1) * (-1|0|-1) gerechnet habe und bin zu dem Ergebnis 0 gekommen.

Heißt also, dass die Figur orthogonal ist und somit ein Quadrat ist und nicht wie von meinem Lehrer beschrieben eine Raute.

Wäre nett, wenn jemand sagen könnte, ob ich einen Denkfehler habe oder tatsächlich sogar mein Lehrer einen Fehler gemacht hat. Für Antworten danke ich im Voraus!

Answer 1

AB (-> über AB) = (-1|0|1)

BC (-> über BC) = (-1|0|-1)          So, jetzt hier die Frage. Ist das letzte Ergebnis -1 richtig? Weil unser Lehrer hat dort eine 1 geschrieben. -1 muss doch richtig sein, denn, die 7 von C (4|1|7) minus die 8 von B (5|1|8) sind doch -1 und nicht 1, oder??

-1 ist richtig. Wäre dort eine 1 wäre BC parallel zu AB, weil der gleiche Vektor und damit unsinnig.

Heißt also, dass die Figur orthogonal ist und somit ein Quadrat ist und nicht wie von meinem Lehrer beschrieben eine Raute.

Auch das ist so richtig.

Tipp: Benutze mal Geoknecht

https://www.matheretter.de/geoservant/de?draw=viereck(6%7C1%7C7%205%7C1%7C8%204%7C1%7C7%205%7C1%7C6)

Answer 2

Hallo,

dein \(\overrightarrow{BC}=(-1,0,-1)^T\) und \(\overrightarrow{AB}=(-1,0,1)^T\) sind richtig. Alle Seiten sind gleich lang und die Innenwinkel sind jeweils 90 Grad. Es handelt sich also in der Tat um ein Quadrat.

Answer 3

a) A (6|1|7), B (5|1|8), C (4|1|7), D (5|1|6)

1. A-B = (1;0;-1)  B-C= (1;0;1)

C-D = (1;0;1). D-A = ( -1;0;-1)

Die Strecken haben alle die Länge \( \sqrt{2} \)

2. A- C = (2;0;0) B-D = ( 0;0;2)

Die Diagonalen sind gleich lang und haben die Länge 2

3. (A+ C )/2 = (5;1;7) =M1

(B+D)/2 = ( 5;1;7) = M2

M1=M2=M

Die Punkte liegen in einer Ebene und bilden ein Quadrat.