Finde eine Basis für Bild(A).

Question

Sei $$ A = \begin{pmatrix}  3 & 3 & 3 & 0 \\  6 & 6 & 7  &  1 \\  -9 & -6 & -9 & 6 \end{pmatrix} $$.

1. Ist $$\begin{pmatrix}  1 \\ 5 \\ -1  \end{pmatrix} \in Bild(A) $$?

2. Finde eine Basis für Bild(A).

Ich habe den Gauß-Algorithmus soweit angewandt:

$$ A = \begin{pmatrix}  3 & 3 & 3 & 0 \\  0 & 3 & 0  &  6\\  0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$

1. Weil rang(A)=3 < 4, Bild(A) = R^3, also $$ \begin{pmatrix}  1 \\ 5 \\ -1  \end{pmatrix} \in Bild(A)$$.

2. Weil die ersten 3 Spalten einen Pivot haben, also linear unabhängig voneinander sind, bilden die ersten 3 Spaltenvektoren die Basis von A, also

$$ Bild(A) = Span(\begin{pmatrix}  1 \\ 2 \\ -3  \end{pmatrix},\begin{pmatrix}  1 \\ 2 \\ -2  \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}  3 \\ 7 \\ -9 \end{pmatrix})$$. Stimmen die Lösungen?

Answer 1

Aloha :)

Wir bilden eine Basis, indem wir die Matrix durch elementare Spaltenumformungen auf Dreieckform bringen:$$\left(\begin{array}{r} :3 & -S_1 & -S_1 & \\\hline3 & 3 & 3 & 0\\6 & 6 & 7 & 1\\-9 & -6 & -9 & 6\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{r} -2S_3& :3 & & -S_3\\\hline1 & 0 & 0 & 0\\2 & 0 & 1 & 1\\-3 & 3 & 0 & 6\end{array}\right)\to$$$$\left(\begin{array}{r}+3_2 & & & -6S_2\\\hline1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\-3 & 1 & 0 & 6\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{r}\vec b_1 & \vec b_2 & \vec b_3 &\\\hline1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\end{array}\right)$$Offensichtlich ist \(\operatorname{Bild}(A)=\mathbb R^3\) und insbesondere$$\begin{pmatrix}1\\5\\-1\end{pmatrix}=\vec b_1-\vec b_2+5\vec b_3\in\operatorname{Bild}(A)$$

Comments

Wäre die Begründung, dass die Pivots zeigen, welche Spaltenvektoren in A linear unabhängig sind, falsch? Also wäre meine Basis für Bild(A) falsch oder richtig?

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Die Determinante von deinem Span ist \(-1\). Damit wird der \(\mathbb R^3\) vollständig augespannt. Daher ist dein Span auch eine passende Basis für den Vektorraum. Der Vollständigkeit halber müsstest du noch angeben, wie sich der Vektor \((1;5;-1)\) mit deinem Span als Basis darstellen lässt.