Injektivität zeigen bzw. nach variable auflösen. 2^(x−1) ⋅(2y−1)

Question

Aufgabe:

$$ f: \mathbb{N}^0x\mathbb{N}^0 \rightarrow \mathbb{N}^0  (x,y) \Longrightarrow 2^{x-1} \ \cdot (2y-1) $$

Ich möchte zeigen, dass es injektiv ist.

Problem/Ansatz:

Wie löse ich auf, so das folgendes da steht

i) x1=x2

ii) y1=y2

Also im Prinzip, dass was ich zeigen möchte.

Answer 1

 2^x1−1 ⋅(2^y1−1)  =    2^x2−1 ⋅(2^y2−1)   wäre x1≠x2, etwa x2 < x1 dann dividiere

2^x1-x2 ⋅(2^y1−1)  =    (2^y2−1)

rechts steht jedenfalls eine ungerade Zahl und links wäre es bei x2 < x1

eine gerade ( bei x2>x1 müsste man durch x1-1 dividieren.) Das kann nicht sein,

also ist jedenfalls x1=x2 und dann bleibt

        (2^y1−1)  =    (2^y2−1)

und daraus folgt auch y1=y2.