Nullstellen für das Polynom x^5 + 1

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Nullstellen für das Polynom x^5 + 1

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Der_Mathecoach · Answer 1 · 2020-08-25T16:45:13+0000

x^5 + 1 = 0

x^5 = - 1

In den reellen Zahlen gibt es hir nur die Lösung x = - 1

In den komplexen Zahlen gibt es noch 4 weitere Lösungen.

x^5 = e^((pi + k·2·pi)·i)

x = e^((pi + k·2·pi)/5·i)

x1 = e^(1/5·pi·i) = √5/4 + 1/4 + i·√(10 - 2·√5)/4 = 0.8090 + 0.5878·i
x2 = e^(3/5·pi·i) = - √5/4 + 1/4 + i·√(2·√5 + 10)/4 = -0.3090 + 0.9511·i
x3 = e^(pi·i) = - 1
x4 = e^(7/5·pi·i) = - √5/4 + 1/4 - i·√(2·√5 + 10)/4 = -0.3090 - 0.9511·i
x5 = e^(9/5·pi·i) = √5/4 + 1/4 - i·√(10 - 2·√5)/4 = 0.8090 - 0.5878·i

Grafisch sieht das wie folgt aus

Tschakabumba · Answer 2 · 2020-08-25T16:56:45+0000

Aloha :)

$$x^5=-1=i^2=(\cos\frac{\pi}{2}+i\,\sin\frac{\pi}{2})^2=\left(e^{i\pi/2}\right)^2=e^{i\pi}=e^{i(\pi+n\,2\pi)}\;;\;n\in\mathbb{Z}$$Wegen der $2\pi$-Periode von Sinus und Cosinus ist auch die komplexe $e$-Funktion $2\pi$-periodisch. Daher dürfen wir zum Winkel beliebig oft $2\pi$ addieren oder subtrahieren. Für die Wurzel bedeute dies nun:$$x=e^{i\,\frac{\pi+2\,n\pi}{5}}\;;\;n\in\mathbb Z$$Wir stellen fest, dass es für $n=0,1,2,3,4$ verschiedene Lösungen gibt, ab $n=5$ wiederholen sie sich:$$x_0=e^{i\pi/5}$$$$x_1=e^{i3\pi/5}$$$$x_2=e^{i\pi}=-1$$$$x_3=e^{i7\pi/5}$$$$x_4=e^{i9\pi/5}$$$$x_5=e^{i11\pi/5}=e^{i\pi/5}=x_0\quad\text{(1. Wiederholung)}$$Wir haben also 5 verschiedene Lösungen gefunden.

Beantwortet 25 Aug 2020 von Tschakabumba

MontyPython · Answer 3 · 2020-08-25T18:05:19+0000

Am besten löst du das in der Polarform.

Der Betrag ist bei allen Lösungen 1.

Den Winkel in Grad erhältst du, indem du den Winkel von -1, also 180° erst einmal durch 5 dividierst, also 36°.

180°+360°=540°

540°:5=108°=36°+72°

Nun noch ein paar Mal 72° addieren, bis du 5 Lösungen hast.

Ins Bogenmaß umrechnen nicht vergessen.

:-)

wächter · Answer 4 · 2020-08-25T21:25:23+0000

Was macht Deine wissenschaftliche Seminararbeit?

Soll das dazu passen?

Graph des Polynoms bis a=1 aufziehen

Graph schneidet Ursprung

φ aufziehen und P_z möglichst genau in Ursprung plazieren

(a,φ) Polarkoordinaten der Nullstelle - rote Zeile Umrechnung aucf komplexe Zahl und vergleich mit numerischer Berechnung. φ weiter aufziehen 2. Umlauf - einmal rum und wieder möglichst genau in Ursprung stellen:

3. Umlauf

die restlichen beiden Umläufe spar ich mir ....

Du hast Dein Polynom ja seeehr vereinfacht?

Kartesische Koordinaten $ x, y $
$$ \begin{array}{l} x=r \cos \varphi(\text { Realteil von } z) \\ y=r \sin \varphi(\text { Imaginärteil von } z) \end{array} $$

Polare Koordinaten $ r, \phi $
Betrag $ r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} $
Argument arg $ (z):=\phi $ ergibt sich aus $ \tan \varphi=\frac{y}{x} $ Quadrant beachten!

Beantwortet 25 Aug 2020 von wächter

Das sind die Realanteile der Nullstellen

Das komplette Ergebnis kannst Du schreiben als (Euler Notation - da stecken die Polorkoordinaten drinn)

$\small L_{cpx} \, := \, \left(\begin{array}{r}-1\\e^{\pi \; \frac{i}{5}}\\e^{3 \; \pi \; \frac{i}{5}}\\-e^{2 \; \pi \; \frac{i}{5}}\\-e^{4 \; \pi \; \frac{i}{5}}\\\end{array}\right)$

oder auch

$\small \left(\begin{array}{l}x_1 = -1 + i \cdot 0\\x_2 = \frac{\sqrt{5} + 1}{4} + i \; \frac{\sqrt{-2 \; \sqrt{5} + 10}}{4}\\x_3 = \frac{-\sqrt{5} + 1}{4} + i \; \frac{\sqrt{2 \; \sqrt{5} + 10}}{4}\\x_4 = \frac{-\sqrt{5} + 1}{4} + i \; \left(-\frac{\sqrt{2 \; \sqrt{5} + 10}}{4} \right)\\x_5 = \frac{\sqrt{5} + 1}{4} + i \; \left(-\frac{\sqrt{-2 \; \sqrt{5} + 10}}{4} \right)\\\end{array}\right)$

oder auch

$\small L_{cpx} \, := \, \left(\begin{array}{r}-1\\0.80902 + 0.58779 \; i\\-0.30902 + 0.95106 \; i\\-0.30902 - 0.95106 \; i\\0.80902 - 0.58779 \; i\\\end{array}\right)$

Du kannst in der App die Gleichung angeben und die Lösungen besichtigen und auch grafisch ablesen/einstellen.

Kommentiert 26 Aug 2020 von wächter

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