Wie kann ich rechnerisch beweisen, dass es surjektiv ist?

Question

Aufgabe:

Rechnerisch beweisen, dass die Funktion surjektiv ist.

h: \(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}  \quad h(x) =x^{3}-7 x \)

Answer 1

Aloha :)

Surjektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens ein Mal erreicht wird. Du musst also zeigen, dass jedes \(y\) aus der Zielmenge \(\mathbb R\) durch Wahl eines \(x\) aus der Definitionsmenge \(\mathbb R\) erreicht werden kann. Dazu faktorisieren wir den Funktionsterm:$$y=x^3-7x=x(x^2-7)=x(x-\sqrt7)(x+\sqrt7)$$

An der Faktorisierung erkennen wir:$$y\text{ ist }\left\{\begin{array}{l}\ge 0 &\text{falls}& x\ge\sqrt7\\\le0 &\text{falls}&x\le-\sqrt{7}\end{array}\right.$$

Da der Funktionsterm \(y=x^3-7x\) stetig ist, wird für \(x\ge\sqrt7\) jeder y-Wert \(\ge0\) erreicht.

Da der Funktionsterm \(y=x^3-7x\) stetig ist, wird für \(x\le-\sqrt7\) jeder y-Wert \(\le0\) erreicht.

Damit wird jeder \(y\)-Wert mindestens ein Mal erreicht und die Funktion ist surjektiv.

Comments

Braucht man nicht noch diese Erkenntnisse (z-B- für y≥0 )  ?

1. für x=√7 entsteht y=0   und

2. für x gegen unendlich geht auch y gegen unendlich

und dann das Argument mit der Stetigkeit.

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Darf ich annehmen, dass diese Funktion stetig ist?

Wenn ich annehme, dass sie stetig ist, reicht es doch zu zeigen, dass

für x ≥ 10   x≤y und

für x ≤ - 10  x≥y ist.

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Wenn ihr mal was über Stetigkeit gemacht habt, ist sicherlich

bewiesen worden, dass jede ganzrationale Funktion stetig ist.

Und da die Grenzwerte für x gegen ±∞ auch ±∞ sind,

ist eigentlich alles klar.

Wenn man ohne Mittel der Analysis ( sozusagen zu Fuß) die

Surjektivität zeigen soll ist esw etwas aufwändiger.

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Ja, etwas einfacher wird es, wenn man zuvor zeigt, dass die Summe zweier stetiger Funktionen wieder stetig ist.

Wenn ich also für zwei Funktionen jeweils ein passendes δ gefunden habe, dann nehme ich davon das kleinste und teile es durch 2, dann sollte es passen.

Dann kann man bei

g(x)= 7x das δ = ε/7 wählen

und bei h(x) = x³ sollte für

|x| <1  δ = ε/9 und sonst δ= ε/( 9*x²)

reichen, das würde ich zumindest versuchen .

Ja, wenn man keine Ahnung hat, dann muss man sehen, wie Stetigkeit festgelegt ist und rumspielen.

Answer 2

du musst nur zeigen dass du jeden Wert y erreichen kannst, d.h zu jedem y gibt es  mindestens ein x so dass x^3-7x=y

Da f(x) stetig ist und für x->-oo gegen -oo geht und für x->+oo gegen + oo ist das leicht.

Gruß lul

Answer 3

Für Surjektivität gilt folgende Definitione: ∀y∈Y∃x∈X:f(x)=y