Wenn zwei 2x2-Matrizen den Eigenwert 1 besitzen, besitzt dann die Summe dieser Matrizen den Eigenwert 2?

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass folgende Aussage stimmt bzw. nicht stimmt:

Seien $M_1, M_2 \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$, welche den Eigenwert 1 besitzen, so besitzt die Matrix $M_1+M_2$ den Eigenwert 2..

Problem/Ansatz:

Also, ich habe es testweise für bestimmte Matrizen probiert und es hat geklappt, aber wie zeige ich, wenn die Aussage denn stimmt, dass es für alle 2x2- Matrizen der Fall ist?

Answer 1

$$\text{Seien } M_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \text{ und } M_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\text{.}\\ \text{Offenbar sind jeweils } 0 \text{ und } 1 \text{ die Eigenwerte von } M_1 \text{ und } M_2\text{.}\\ \text{Allerdings ist } 1 \text{ der einzige Eigenwert von } M_1+M_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\text{.}$$

Answer 2

Wenn eine Matrix M1 den Eigenwert 1 hat bedeutet es das gilt

M1·v = 1·v

Wenn eine Matrix M2 den Eigenwert 2 hat bedeutet es das gilt

M2·v = 2·v

Stimmt das soweit? Wir addieren die Gleichungen

M1·v + M2·v = 1·v + 2·v

(M1 + M2)·v = 3·v

Das bedeutet doch jetzt das die Summe der Matrizen den Eigenwert 3 hat oder nicht?

Comments

Kann man aber davon ausgehen, dass die Eigenvektoren dieselben sind? Wie würde die Umformung ausschauen, wenn wir zwei verschiedene Eigenvektoren x und v hätten?

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Gut erkannt. Dann muss das nicht so sein oder? Also ließe sich doch ein Gegenbeispiel konstruieren oder?

Was ist die Bedingung damit eine Matrix den Eigenwert 1 hat?

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Also man rechnet $det(M-\lambda1)=0$, wobei 1 die Einheitsmatrix darstellt.. Des Weiteren ist jeder Vektor $x \in Kern(M-\lambda1)$ ein Eigenvektor ( ungleich dem Nullvektor) zu dem Eigenwert.

Hat sich geklärt. Es gibt ein Gegenbeispiel. Ich frage mich jedoch, wie viel Zeit ich damit verbringen soll, ein Gegenbeispiel zu finden vs. wie viel Zeit ich damit verbringen soll einen mathematischen Beweis für die Aussage zu finden. Wenn es beispielsweise für einen Fall klappt, soll ich nach Möglichkeiten suchen für die die Aussage nicht stimmt oder soll ich nach diesem Fall an einem Beweis arbeiten?

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Lautet die Aufgabenstellung "Beweise oder widerlege", bzw. "Zeigen Sie, dass folgende Aussage stimmt bzw. nicht stimmt" würde ich zuerst versuchen ein einfaches Gegenbeispiel zu finden. Finde ich nach mehreren Versuchen immernoch keines, so würde ich versuchen die Aussage formal zu beweisen (und hätte mit den Beispielen vermutlich auch schon eine Idee warum die Aussage wahr sein kann).

Das Finden geeigneter Gegenbeispiele erfordert Geschick - manchmal ist es auch sinnvoll zu versuchen, die Aussage von vornherein zu beweisen, bis an bestimmten Stellen Beweisfortsetzungen in der Allgemeinheit nicht mehr möglich sind. Dort kann dann mit Gegenbeispielen argumentiert werden.

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Danke für die Erklärung, wie man an solche Aufgaben rangeht!