Aufgabe:
Sei \(x:= \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}\) und \(E:=Span(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\1 \end{pmatrix})\).
a) Finden Sie eine hessesche Normalform von E.
b) Berechnen Sie die orthogonale Projektion \(p\) von \(x\).
c) Ermitteln Sie den Abstand zwischen \(x\) und \(E\).
Problem/Ansatz:
a) \(E = \{v \in \mathbb{R}^n: \frac{\langle \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \rangle}{\sqrt{21}} = 0 \} \)
b) Wir berechnen die Gram-Matrix \(G = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}\).
Und müssen folgendes Gleichungssystem lösen:
\(6*\alpha_1+3*\alpha_2 = 4 \)
\(3*\alpha_1+5*\alpha_2 = 3\)
und erhalten die Werte \(\alpha_1 = \frac{11}{21}\) und \(\alpha_2 = \frac{2}{7}\), somit ist \(p= \frac{11}{21} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\1 \end{pmatrix} + \frac{2}{7} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\1 \end{pmatrix} \)
c) Für den Abstand kann man die hessesche Normalform verwenden und den Punkt einsetzen und man erhält \( \frac{-1}{\sqrt{21}} \).
Könnt ihr das einmal überprüfen?
