Berechnen Sie die orthogonale Projektion von x auf die Ebene E und finden Sie eine hessesche Normalform von E.

Question

Aufgabe:

Sei $x:= \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}$ und $E:=Span(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\1 \end{pmatrix})$.

a) Finden Sie eine hessesche Normalform von E.

b) Berechnen Sie die orthogonale Projektion $p$ von $x$.

c) Ermitteln Sie den Abstand zwischen $x$ und $E$.

Problem/Ansatz:

a) $E = \{v \in \mathbb{R}^n: \frac{\langle \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \rangle}{\sqrt{21}} = 0 \}$

b) Wir berechnen die Gram-Matrix $G = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$.

Und müssen folgendes Gleichungssystem lösen:

$6*\alpha_1+3*\alpha_2 = 4$

$3*\alpha_1+5*\alpha_2 = 3$

und erhalten die Werte $\alpha_1 = \frac{11}{21}$ und $\alpha_2 = \frac{2}{7}$, somit ist $p= \frac{11}{21} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\1 \end{pmatrix} + \frac{2}{7} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}$

c) Für den Abstand kann man die hessesche Normalform verwenden und den Punkt einsetzen und man erhält $\frac{-1}{\sqrt{21}}$.

Könnt ihr das einmal überprüfen?

Comments

Könnt ihr das einmal überprüfen?

Du kannst auch versuchen, die Daten aus der Aufgabe und Deine Lösung in Geoknecht3D zu visualisieren:

(klick auf das Bild)

Dann bekommt man schnell ein Gefühl dafür, ob die errechnete Lösung sinnvoll ist.

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Danke dafür, dass du mir eine Möglichkeit zum Visualisieren der Konzepte aufzeigst!

Answer 1

Das kommt mir alles sehr richtig vor !

Comments

Vielen lieben Dank für das Rüberschauen. Kann mir jetzt so ziemlich sicher sein, dass ich dieses Thema einigermaßen verstanden habe.