Potenzregel für x^0 an der Stelle x=0?

Question

Liebe Lounge,

die Potenzregel der Ableitung ist ja sehr einfach.

Jetzt habe ich mehrfach gesehen, dass sie nur für Exponenten größer 1 definiert ist.

Nun meine Frage: Sei f(x)=x^1 . Dann ist ja die Ableitung (eigentlich) f'(x)=x^0=1.

Kann man die Regel nicht auch für einen Exponenten = 1 definieren? Was ist dann aber an der Stelle x=0? Die Funktion f ist eine Gerade und hat somit auch in x=0 die Steigung 1. Wie kann man das aber rechnerisch zeigen?

Ich hoffe, die Frage ist klar.

Schönes WE wünscht

Kombi

Answer 1

f '(x) = 1 ist eine Parallele zur x-Achse auf der Höhe 1.

Diese Gerade hat keine Steigung.

f(x) = x^1 → f '(x) = 1*x^(1-1) = 1*x^0 =1*1 = 1

Answer 2

In diesem Fall wäre es einfach 0^0 als 1 zu definieren, damit der Term x^0, der ja überall außer bei x = 0 den Wert 1 hat auch für x = 0 definiert wäre.

Comments

Geht das denn so einfach ?

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Für die Ableitung mit der Potenzregel darf man das machen um die Definitionslücke für 0^0 zu beheben.

In diesem Fall ist der Exponent ja immer genau Null und man betrachtet keine Grenzwerte in dem der Exponent auch gegen Null geht aber nie Null ist.

Answer 3

Potenzregel
Jetzt habe ich mehrfach gesehen, dass sie nur für
Exponenten größer 1 definiert ist.

Meinst du so ?
f ( x ) = x^(1/2)
f ´ ( x ) = 1/2 * x^(-1/2)
geht doch.

Dein 2.Beispiel
f ( x ) = x^1
f ´( x ) = 1 * x^0 = 1 * 1 = 1

Egal welches x, die Steigung ist immer 1.

Comments

Aber 0^0 ist doch nicht definiert...

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Falls du dich selbst in den Wahnsinn treiben
willst dann arbeite den Artikel

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Potenz_(Mathematik)#Null_hoch_Null

durch.

Answer 4

Die Gerade mit y=x hat ja überall die Steigung 1, auch an der Stelle x=0. Insofern macht die Ableitung keine Probleme.

Die Potenz Null hoch Null ist ja nur deshalb problematisch, weil sie in manchem Zusammenhängen als 1 sinnvoll ist, während sie bei anderen Fragestellungen durch 0 ersetzt werden müsste.

Wenn man bei deiner Aufgabe den Limes für x gegen Null betrachtet, ist hier eben 1 sinnvoll.