Summe berechnen zur Catalanzahl

Question

Hallo,

ich möchte gerne den Wert der folgenden Reihe berechnen, nur leider gelingt es mir absolut nicht

\(\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{(i+1)(2^{2i+1})}\binom{2i}{i}\)

Comments

Zeige z.B. per Induktion über \(n\), dass \(\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac1{(k+1)\cdot2^{2k+1}}\binom{2k}k=\frac12-\frac1{2^{2n+2}}\binom{2n+2}{n+1}\)  gilt. Anschließend zeige \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1{4^n}\binom{2n}n=0\).

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Vielen Dank.

Die Induktion leuchtet mir ein, aber wie mache ich weiter, um auf die von dir vorgegebene Grenzbetrachtung zu kommen.

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Das ist doch einfach  der subtrahierte Term  n+1 doch n ersetzt

lul

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Mithilfe der Stirling-Formel erhält man für \(n\ge1\) die Abschätzung \(\displaystyle\binom{2n}n<\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}\).