Zahlentheorie mit Potenzen: Gesucht wird eine vierstellige Zahl, für die gilt: abcd = (a^b) · (c^d)

Question

Gesucht wird eine vierstellige Zahl, für die gilt: abcd = (a^b) · (c^d)

Das Produkt der Potenzen soll die Zahl ergeben.

Comments

Wie wäre es mit 1111?

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1¹·1¹ ist leider nicht 1111.

Oder hast du die Schreibweise der Fragestellung aus erzieherischen Gründen absichtlich missverstanden?

Nicht jeder ist in LaTeX so fit, dass er $$\overline{abcd}$$ schreiben kann.

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Vielleicht 2⁵·9² = 2592.

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War das jetzt brute force mit einem Computerprogramm oder ein intelligenter Lösungsansatz?

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oder ein intelligenter Lösungsansatz?

Wie sähe der aus?

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Was glaubst du, warum ich frage? Ich weiß es nicht.

Sicher gibt es die Möglichkeit, die Anzahl der 9000 möglichen vierstelligen Zahlen durch Betrachtungen zur Größe der Potenzen und zu den Endziffern der beteiligte Faktoren deutlich zu reduzieren, sodass auch ohne Computereinsatz eine Abhandlung der verbleibenden Fälle mit vertretbarem Aufwand möglich ist.

Answer 1

Die Zahl 2592 ist ein Fixpunkt für den Powertrain von John Conway:

https://www.spektrum.de/kolumne/warum-zahlen-seltsam-sind/1660094

In unserem Fall gilt also n' = 3⁴6² und das Resultat ist 2916 (= 81*36). Damit wird nun ebenso verfahren und die Zahl 2⁹1⁶ gebildet. Das ergibt 512, also berechnen wir 5¹*2¹ = 10, so dass wir schon fast das Ende der Kette erreichen. Wir können noch ein letztes Mal 1⁰ = 1 berechnen, bevor nur noch eine einzelne Ziffer übrig ist.

Conway nannte diesen Vorgang einen »Powertrain«, der quasi gnadenlos über jede Zahl fährt und sie am Ende auf eine einzelne Ziffer reduziert. Denn tatsächlich ist das – wenn auch oft erst nach sehr viel mehr Durchgängen als im Beispiel – fast immer der Fall. Conway selbst fand nur eine Zahl, die dem Powertrain Widerstand leisten konnte: 2592. Hier stockt die Kette; aus 2⁵9² wird wieder 2592 (= 32*81).

Comments

Super, danke für die Lösung und die Erklärung.