Polynomdivision lösen: (a^4 - b^4)/(a + b)

Question

Aufgabe:

Polynomdivision lösen: \( \frac{a^4-b^4}{a+b} \)

Comments

Diese Aufgabe löst man statt mit Polynomdivision besser mit Faktorenzerlegung.

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Die Frage ist hier stammt das "Polynomdivision lösen" vom Fragesteller als Idee oder stand das (etwas besser formuliert) mit in der Aufgabenstellung.

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Was ist Polynomdivision, wenn nicht \( \frac{a^4 - b^4}{a+b} \)?

Answer 1

Es ist

        a⁴ - b⁴ = (a² - b²)(a² + b²) = (a - b)(a + b)(a² + b²),

beides wegen dritter binomischer Formel. Also ist

        (a⁴ - b⁴)/(a + b) = (a - b)(a² + b²).

Polynomdivision

Benutzt man für komplizierte Brüche, nicht für solche einfachen :-)

Answer 2

Auch wenn man es nicht macht hier nochmals mit Polynomdivision.

Comments

Was meinst du damit, dass man das nicht macht? Ich glaube schon, dass man das macht.

Warum hast du \( a \) und \( b \) gegen \( x \) und \( a \) ausgetauscht?

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Zum einen damit ich das selber noch mal fremdverwenden kann und dann soll jemand der es abschreibt nicht nur abschreiben, sondern dabei auch noch aufmerksam sein. z.B. indem sorgfältig darauf geachtet wird die Buchstaben wieder zurückzuwandeln.

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Der Differenzenquotient ist ein interessantes Nebenergebnis.

Mit fällt auf, du hättest durch \( a + b \) teilen sollen. Kannst du den Lösungsweg zu \( \frac{a^4 - b^4}{a \pm b} \) verallgemeinern?

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Ich habe das nochmal einzeln mit durch (x + a) gemacht. Ich hätte es auch allgemein mit (x ± a) machen können aber ich denke das wäre für die meisten schüler zu verwirrend.

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In der 7. Klasse behandeln wir zur Zeit negative Vor- und Rechenzeichen .

Das mit dem (x±a) verwirrt auch mich.

Ich dachte, das macht keinen Unterschied. Ist (-1)*(-1) hier nicht  (+1)?

War ich wieder zu voreilig?

War es falsch anzunehmen, dass a∈ℝ , habe ich da wieder etwas übersehen?

Und wieso muss die Polynomdivision hier zweimal gemacht werden?

Geht es hier um Wurzeln, die nur für positive Einträge definiert sind?

Ich habe wohl ein Brett vorm Kopf. Mir fällt keine Erklärung ein, darum meine vielen Fragen.

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Einfacher als die allgemeine Darstellung der Polynomdivision von \( \frac{x^4 - a^4}{x \pm a} \) ist die Überlegung, dass sich der Fall \( \frac{x^4 - a^4}{x - a} \) aus \( \frac{x^4 - a^4}{x + a} \) durch Ändern des Vorzeichens von a ergibt: \( a \leftrightarrow -a \).

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Ja, sorum geht es auch, ich hatte nur (-1)*(-1)= +1 geschrieben, doch vermutlich hätte ich auch

(+1)*(-1)=-1 schreiben müssen, damit man mich versteht, einige meiner Schülerinnen und Schüler der 7.Klasse versteht es übrigens

Doch noch mal für alle, wenn in der Lösung a steht und es keine Beschränkung gibt, diese a∈ℝ ist, dann ist -(-a) natürlich dasselbe wie +a

Und +(-a)= -a

Answer 3

Hallo,

a^4-b^4 =(a^2+b^2)(a^2-b^2)=(a^2+b^2)(a-b)(a+b)

Jetzt kannst du (a+b) rauskürzen.