a) Nullvektor (0,0,0)^T ist nicht Element der Menge also nein.
b) Linearität wird verletzt: (1,0)^T, (0,1)^T sind Elemente der Menge, aber (1,1)^T nicht.
$$\text{c) Sei } U_3=\{x\in \mathbb{R^2}| \ x_1=-x_2\}\subseteq \mathbb{R}^2 \text{.}\\\text{Dann gilt } (0,0)^T\in U_3 \text{, da } 0=-1\cdot 0\text{. Desweiteren gilt für } v=(v_1,v_2)^T, \ w=(w_1,w_2)^T\in U_3 ,\\ \text{dass } \lambda\cdot v + w = (\lambda\cdot v_1+w_1, \lambda\cdot v_2+w_2)^T\in U_3 \text{, denn } \lambda\cdot v_1+w_1\overset{Vorr.}{=} -\lambda\cdot v_2-w_2 = -(\lambda\cdot v_2+w_2) \text{.} \\ \text{Damit handelt es sich bei } U_3 \text{ um einen UVR des } \mathbb{R}^2 \text{.}$$
$$\text{d) Sei } U_4=\{x\in \mathbb{R}^n| \ Ax=0_{\mathbb{R}^m}\}\subseteq \mathbb{R}^n \ \text{ für eine Matrix } A\in \mathbb{R}^{m\times n} \text{.} \\ \text{Dann gilt offenbar } 0_{\mathbb{R}^n}\in U_4 \text{ (vgl. triviale Lösung eines hom. lin. GS).} \\ \text{Für } v,w\in U_4 \text{ gilt } Av=0_{\mathbb{R}^m} \text{ und } Aw=0_{\mathbb{R}^m} \text{ und mit der Distr. der Matrixmultiplikation auch } \\A\cdot(\lambda v + w) = A\cdot (\lambda v) + A\cdot w = \lambda\cdot (A\cdot v) + A\cdot w = \lambda \cdot 0_{\mathbb{R}^m} + 0_{\mathbb{R}^m}=0_{\mathbb{R}^m} \Rightarrow \lambda \cdot v + w \in U_4 \text{.} \\ \text{Damit handelt es sich bei } U_4 \text{ um einen UVR des } \mathbb{R}^n \text{.}$$
