Wie komme ich jetzt weiter?

Question

Vermeidung einer Funktion zu hohen Grades durch Ermittlung 2 Funktionen 4ten Grades

Aufgabe: Um Funktionen zu hohen Grades zu vermeiden, kann man 2 Funktionen 4ten Grades ermitteln, deren Graphen die Punkte A und C bzw. C und B miteinander verbinden. Es muss in C ein knickfreier und krümmungsruckfreier Übergang vorliegen. Dabei müssen die Funktionen auch knickfrei und krümmungsruckfrei in die jeweiligen Punkte A und B übergehen.

Problem/Ansatz:

Mein Bedingungen für die Funktion, die A und C miteinander verbinden: f(0)=4, f'(0)=-1, f''(0)=0, f(2)=1 und f''(2)=0

Bzw. Für die Funktion der Punkte B und C: f(4)=0, f'(4)=-1, f''(4)=0, f(2)=1 und f''(2)=0

Damit könnte ich 2 Funktionen 4ten Grades ermitteln aber dabei gibt es keinen knickfreien Übergang im Punk C wie gefordert war. Wie komme ich jetzt weiter? Ich darf ja keine weitere Bedingung hinzufügen, da ich sonst 2 Funktionen 5ten Grades ermittle.

Comments

Dein erste Bild erscheint bei mir nicht.

Answer 1

Um genaueres zu sagen fehlen Informationen...

Wenn DU ZWEI Funktionene angeben musst kommt das in Deinem Ansatz nicht zum Tragen!

Ob man an den Rändern Steigung und Krümmung frei wählen kann? Da bin ich mir nicht sicher....

Warum 4. Grades? Damit musst Du 5 Parameter pro Funktion bestimmen - kubische Parabeln/kubische Splines würden zu dem, was man sehen kann, weit besser passen. Zum dem Thema siehe

https://www.geogebra.org/m/s5g89mqy

Answer 2

Hier der Ansatz und die Gleichungen

f(x) = a·x^4 + b·x^3 + c·x^2 + d·x + e für x ∈ [0 ; 2]
g(x) = l·x^4 + m·x^3 + n·x^2 + o·x + p für x ∈ [2 ; 4]

f(0) = 4 → e = 4
f'(0) = -1 → d = -1
f''(0) = 0 → c = 0
f(2) = 1 → 16·a + 8·b + 4·c + 2·d + e = 1
g(2) = 1 → 16·l + 8·m + 4·n + 2·o + p = 1
f'(2) = g'(2) → 32·a + 12·b + 4·c + d = 32·l + 12·m + 4·n + o
f''(2) = g''(2) → 48·a + 12·b + 2·c = 48·l + 12·m + 2·n
g(4) = 0 → 256·l + 64·m + 16·n + 4·o + p = 0
g'(4) = -1 → 256·l + 48·m + 8·n + o = -1
g''(4) = 0 → 192·l + 24·m + 2·n = 0

Für die Lösungen habe ich dann

f(x) = 3/16·x^4 - 1/2·x^3 - x + 4 für x ∈ [0 ; 2]
g(x) = 3/16·x^4 - 5/2·x^3 + 12·x^2 - 25·x + 20 für x ∈ [2 ; 4]