Rationale Zahlen Rechenvorschriften

Question

Zwei rationalen Zahlen x und y wird eine rationale Zahl z zugeordnet. z=x#y Die Zahl z wird also mit einer Formel aus x und y berechnet.

Dabei wird festgestellt, das für die beliebigen Zahlen a b und c die Gleichung

a+(b#c)=(a#b)+(a#c) gilt.

Geben Sie die Rechenvorschriften für x#y an, die nur die Grundrechenarten beinhalten darf.

Zeigen Sie dass die Gleichung für beliebige rationale Zahlen a b c durch diese Rechenvorschrift tatsächlich erfüllt

Answer 1

Hallo,

Geben Sie die Rechenvorschriften für z#y an, die nur die Grundrechenarten beinhalten darf.

wenn $$x\, \# \, y = \frac 12(x+y)$$das arithmetische Mittel ist, ...

Zeigen Sie dass die Gleichung für beliebige rationale Zahlen a b c durch diese Rechenvorschrift tatsächlich erfüllt

... dann geht es auf$$\begin{aligned} a + (b\,\#\, c)&= (a\,\#\, b) + (a\,\#\, c) \\&= \frac 12(a+b) + \frac 12(a+c) \\ &= a + \frac 12 (b+c) \end{aligned}$$

Nachtrag:

wie kommt man darauf? $$a + (b\,\#\, c)= (a\,\#\, b) + (a\,\#\, c) = (a\,\#\, c) + (a\,\#\, b) = a + (c\,\#\, b)$$D.h. die Operation ist kommutativ. In $x\,\#\,y$ können $x$ und $y$ vertauscht werden ohne das sich das Ergebnis ändert. Weiter ist $$a + (b\,\#\, b)= 2(a\,\#\, b)$$Erhöhe ich in dieser Gleichung $a$ um $1$, so muss der Ausdruck $a\,\#\,b$ um $1/2$ anwachsen. D.h. $a$ geht mit einem Faktor von $1/2$ ein. Wegen der Vertauschbarkeit muss das auch für den zweiten Parameter gelten - also $x\,\#\,y = (x+y)/2$

Comments

Mein Mathelehrer kommt auf solche Aufgaben.

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Mein Mathelehrer kommt auf solche Aufgaben.

Guter Mathelehrer! Mal 'ne Aufgabe wo man etwas knobeln muss. Schade, dass Du nicht selbst drauf gekommen bis ;-)

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Hallo Werner,

https://www.nanolounge.de/27472/flussigkeit-rotierendem-behalter-rad…

Ich habe hier eine Frage in der Nanolounge gepostet. Wenn du Zeit und Lust hast, kannst du es dir ja mal anschauen. Ist denke ich wieder dein Gebiet ;)

Vielen Dank!