Zeige: das Dreieck ABG und das Viereck EGFD sind flächengleich.

Question

Im Quadrat ABCD liegt E beliebig auf AD. Die Senkrechte zu BE durch A schneidet CD in F und BE in G. Zeige: das Dreieck ABG und das Viereck EGFD sind flächengleich.

Answer 1

Dreieck ABE ist kongruent zu Dreieck DAF, da der Winkel EBA=Winkel FAD

Denn 90-(90-Winkel EBA)=Winkel FAD

da Winkel EBA=Winkel GBA

Rechter Winkel = Rechter Winkel

AB=DA

A( ABE)= A(DAF) jetzt minus A(EAG)

A(ABG)= A(EGFD)

Ich könnte auch noch eins zweite Variante der Beweisführung anbieten.

Bei der nehmen wir an , dass das gegebene Quadrat ein Einheitsquadrat ist,

A(0;0) B(1;0) usw.

dann wird angenommen, dass E(0;e) mit

 0 ≤ e ≤ 1      H(e;0).

S ( e^2/(1+e^2) ; e / (1 + e^2) )

Damit kann man über den Strahlensatz leicht zeigen, dass S sowohl auf BF als auch auf AH liegt und das S auf dem Thaleskreis ( Halbkreis) über AB liegt.

Somit erfüllt S alle Bedingungen von G und H alle von F, so dass wir sagen können

S = G und H = F dafür benötigen wir also nur den Strahlensatz und den Pythagoras.

Mittels der Koordinaten kann dann jeweils die entsprechende Fläche berechnet werden und wir sehen, dass die Aussage stimmt, denn jedesmal bekommen wir für die Fläche A = 0,5 e/(1+e^2) heraus.

Doch scheinbar interessiert sich der Fragesteller nicht für meine Antworten.

Sonst hätte er konkrete Fragen gestellt, wenn ihm etwas unklar gewesen wäre.

Comments

"Da AE = DF stimmt die Aussage
Doch wie ich dich kenne reicht es dir nicht.
Dreieck ABE ist kongruent zu Dreieck DAF"

kurz:

Da AE = DF gilt:
Dreieck ABE ist kongruent zu Dreieck DAF. Dreieck AGE ist beiden (ABE und DAF ) gemeinsam.Also sind die Restflächen gleich.

So kurz, wie möglich aber nicht kürzer als nötig.

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kurz:
Da AE = DF gilt:
Dreieck ABE ist kongruent zu Dreieck DAF.

Mit dieser "Verkürzung" vertauschst du Voraussetzung und Folgerung.
Sie ist daher falsch.

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Die erste Bemerkung folgt aus der Kongruenz. Ist im Folgenden auch nicht mehr, wichtig. Warum die Kongruenz gilt , habe ich durch WSW

Darunter gezeigt, AE= DF folgt daraus, doch in der Beweisführung spielt es keine Rolle.

Doch damit du zufrieden bist, lösche ich die Zeile.

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Hallo Roland,

ja, es war zu lang, ich habe einiges gelöscht, was gibt es denn jetzt noch auszusetzen,

Die Dreiecke sind kongruent, da sie in WSW übereinstimmen, also ist die Fläche gleich, wenn von diesen Flächen jeweils die Fläche vom Dreieck EAG abgezogen wird, folgt die Behauptung.

Was du geschrieben hast ist nicht richtig zitiert, denn um die Kongruenz zu zeigen benutze ich die Seiten des Quadrat, dass die alle gleich lang sind, solltest du doch wissen.

Fehlt jetzt noch das Gradzeichen bei 90 ?

Ich weiß nicht, was mit dir ist, scheinbar liegt es nicht an meiner Lösung, sondern an persönlichen Vorbehalten.

Gruß, Hogar

P.s. Aus der Antwort wurde überflüssiges gelöscht.

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Meine Begriffsstutzigkeit ist eine Spätfolge meines schweren Schädel-Hirn Traumas. Ich hatte gehofft, meine Mängel mit Hilfe der Mitwirkung in der Mathelounge allmählich überwinden zu können. Aber diese Hoffnung muss ich wohl aufgeben.

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Hallo Roland

Wir sollten vielleicht Schritt für Schritt vorgehen.

"Im Quadrat ABCD liegt E beliebig auf AD. Die Senkrechte zu BE durch A schneidet CD in F und BE in G. Zeige: das Dreieck ABG und das Viereck EGFD sind flächengleich."

Im Quadrat sind alle Seiten gleich lang und alle Winkel 90°.

Winkel EBA = Winkel GBA

da G auf der Geraden EB liegt

Winkel GAB =

90 °- Winkel GBA

Winkel FAD =
90 °- Winkel GAB=

 90 °- (90 °- Winkel GBA)= Winkel GBA

= Winkel EBA

Dieser Winkel ist im

Dreieck FAD und im Dreieck EBA also gleich. Ebenso ist der rechte Winkel gleich, denn im Quadrat sind ja alle Winkel gleich 90°

In Dreieck FAD und im Dreieck EBA

Sind also alle Winkel gleich und die Quadratseite ist auch gleich, darum sind sie kongruent. Was aber auch bedeutete, dass sie flächengleich sind.

Nun ziehe ich von diesen Flächen die Fläche des Dreiecks EAG ab, dann erhalten wir deine Aussage.

Vielleicht machst du dir mal eine Zeichnung deiner Aufgabe, dann kannst du das alles Schritt für Schritt nachvollziehen.

Gib nicht auf, das wird schon wieder.

Liebe Grüße, Hogar

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Jetzt gebe ich dir auch noch eine Zeichnung. Mehr kann ich dann aber wirklich nicht mehr tun. (hinter AFD fehlt noch die Klammer. Diese Buchstabenfolge gefällt mir zwar nicht, doch dafür ist es jetzt zu spät.)

Text erkannt:

3
Cer