Stellen Sie den Kern von A als Spannraum dar, und geben Sie eine Basis des Kerns an.

Question

Aufgabe:

(I)Stellen Sie den Kern von A als Spannraum dar, und geben Sie eine Basis des
Kerns an.

(II)Gehört v = (1, 2, 3)^T zum Spaltenraum von A? Falls ja, bestimmen Sie den
Koordinatenvektor von v bzgl. der in (a) gefundenen Basis

(I)

A = \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & -7 & 5 \\ 0 & 1 & -4 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 6 \end{pmatrix} \)

In erw. ZSF

A = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

(II)

Basis v. Col(A) =( \( \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 2\\1\\0 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 5\\0\\6 \end{pmatrix} \))

Problem/Ansatz:

(I) Ich komme grade nicht ganz damit klar, dass ich hier 3 Zeilen und 4 Spalten habe.

Diesen -1 Ergänzungstrick habe ich schon mal kennengelernt, allerdings denke ich, dass das in unserer Klausur eher nicht so gerne gesehen wird.

(II) Bei der Aufgabe weiß ich leider keinen Ansatz.

Comments

Diesen -1 Ergänzungstrick habe ich schon mal kennengelernt

Wenn du den -1 Trick kennst:

Falls Zeilenanzahl < Spaltenanzahl: Füge Nullzeilen hinzu

Falls Spaltenanzahl < Zeilenanzahl: Streiche Nullzeilen weg

bis du eine quadratische Matrix hast. Anschließend kannst du den Trick wie gewohnt anwenden.

allerdings denke ich, dass das in unserer Klausur eher nicht so gerne gesehen wird.

Bei Korrektoren ist in erster Linie ein korrektes Ergebnis gerne gesehen ;) Der -1 Trick ist jetzt auch keine Hinterwäldler Methode sondern schon relativ weit verbreitet.

Answer 1

Du hast eine Abbildung R⁴ -> R³

Zum Rechnen siehe App

https://www.geogebra.org/m/pchm9qyt

Was Du als Spaltenraum bezeichnest ist eine Basis des Bildraumes R³.

Finde einen Vector {a1,a2,a3} mit a1 {1,0,1}+a2 {2,1,0}+a3 {5,0,6}=v

was auf ein LGS: Col(A)  {a1,a2,a3} = v

hinausläuft

z.B. \(\small \left\{  \left\{ a1 = -33, a2 = 2, a3 = 6 \right\}  \right\} \)

Answer 2

Aloha :)

Da du hier letztendlich Bild und Kern bestimmen sollst, kannst du das auch direkt zusammen tun. Schreibe neben die Matrix A eine quadratische Einheitsmatrix mit so vielen Spalten wie A hat. Dann bringst du die Matrix A durch elementare Spaltenumformungen auf Dreieckform und wiederholst dieselben Schritte an der Einheitsmatrix:

$$\left(\begin{array}{r} & -2S_1 & +7S_1 & -5S_1\\\hline1 & 2 & -7 & 5\\0 & 1 & -4 & 0\\1 & 0 & 1 & 6\end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{r} & -2S_1 & +7S_1 & -5S_1\\\hline1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{r}  & & +4S_2 & \\\hline1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & -4 & 0\\1 & -2 & 8 & 1\end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{r}  & & +4S_2 & \\\hline1 & -2 & 7 & -5\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{r}  -S_4 & +2S_4& & \\\hline1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\1 & -2 & 0 & 1\end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{r}-S_4 & +2S_4& & \\\hline1 & -2 & -1 & -5\\0 & 1 & 4 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{r} \vec b_1 & \vec b_2 & &  \vec b_3 \\\hline1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{r} & & \vec k_1 & \\\hline6 & -12 & -1 & -5\\0 & 1 & 4 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\-1 & 2 & 0 & 1\end{array}\right)$$Damit haben wir Bild und Kern gefunden:$$\operatorname{Bild}(A)=\left(\,\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\,,\,\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\,,\,\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\,\right)\quad;\quad\operatorname{Kern}(A)=\left(\,\begin{pmatrix}-1\\4\\1\\0\end{pmatrix}\,\right)$$Beachte bitte, dass eine Basis nie eindeutig ist. Wir haben hier die einfachst mögliche Basis ermittelt.

Der Vektor \(\vec v=(1,2,3)^T\) gehört selbstverständlich zum Spaltenraum von \(A\):$$\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=1\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+3\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$$