Gleitpunktzahlen numerische Mathematik

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle dualen 3-stelligen Gleitpunktzahlen mit einstelligem Exponenten sowie ihren dezimalen Wert.

Answer 1

Das sind folgende 9 Gleitpunktzahlen

0.000 * 2^0 = 0
0.100 * 2^0 = 0.5
0.101 * 2^0 = 0.625
0.110 * 2^0 = 0.75
0.111 * 2^0 = 0.875
0.100 * 2^1 = 1
0.101 * 2^1 = 1.25
0.110 * 2^1 = 1.5
0.111 * 2^1 = 1.75

Dieses ist die Lösung von Michael Knorrenschild aus dem Buch Numerische Mathematik.

Dabei ist eine Gleitpunktzahl wie folgt definiert:

Eine \( n \) -stellige Gleitpunktzahl zur Basis \( B \) hat die Form
\( x=\pm\left(0 . z_{1} z_{2} \ldots z_{n}\right)_{B} \cdot B^{E} \quad \) und den Wert \( \quad \pm \sum \limits_{i=1}^{n} z_{i} \cdot B^{E-i} \)
wobei \( z_{i} \in\{0,1, \ldots, B-1\} \) und, falls \( x \neq 0, z_{1} \neq 0 \) (normalisierte Gleitpunktdarstellung). Den Anteil \( \left(0 . z_{1} z_{2} \ldots z_{n}\right)_{B} \) bezeichnet man auch als Mantisse. Für den Exponenten \( E \in \mathrm{Z} \) gilt: \( m \leq E \leq M \)

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Comments

ohne die Bedingung z1# 0 sind betragsmäßig kleiner als xmin und werden denormalisierte Gleitpunkthahlen genannt. Die kleinste positive Zahl hier ist
x_min = b^emin−p
.
Fuhrt eine Rechnung in den Bereich der denormalisierten Gleitpunktzahlen, so ¨
wird es als gradual underflow bezeichnet. Ist ein Ergebnis kleiner als x_min, kommt
es zu einem underflow, und es wird in der Regel mit dem Wert 0 weitergerechnet.
Ein Rechenergebnis, das größer als x_max ist, fuhrt zu einem overflow

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