Mit scharfem Hinsehen entdecken wir, dass \(\color{red}{4, 16, 64},\ldots \) für \(n=1,2,3,\ldots\) wohl die \(4\)-er Potenz \(4, \;4\cdot 4,\; 4\cdot 4\cdot 4\) ist. Außerdem scheint in der Klammer ein linearer Faktor zu sein: \(\color{blue}{1,2,3},\ldots\) für \(n=1,2,3,\ldots\).
$$\begin{aligned}f'(x)&=\textcolor{red}4(4x+\textcolor{blue}1) \mathrm e^{4x} \\ f''(x)&=\textcolor{red}{16}(4x+\textcolor{blue}2) \mathrm e^{4x}\\ f'''(x)&=\textcolor{red}{64}(4x+\textcolor{blue}3)\mathrm e^{4x}\\ &\phantom{\!=}\vdots \\ f^{(n)}(x)&=\textcolor{red}{4^n}(4x+\textcolor{blue}n)\mathrm e^{4x}\end{aligned} $$
Wir beweisen nun mithilfe von Induktion über \(n\), dass unsere Vermutung der \(n\)-ten Ableitung stimmt:
Induktionsanfang: \(n=1,\quad f'(x)=4^1 (4x+1)\mathrm e^{4x} \quad \checkmark\)
Induktionsvoraussetzung (IV): \(f^{(n)}(x)=4^n(4x+n)\mathrm e^{4x}\) gilt für ein bel. festes \(n \)
Induktionsschrit: \(n\to n+1\):
Zu zeigen: \(f^{(n+1)}(x)=4^{n+1}(4x+n+1)\mathrm e^{4x}\) $$\begin{aligned}f^{(n+1)}(x)=[f^n]'(x)&\stackrel{IV}{=}\left[4^n(4x+n)\mathrm e^{4x}\right]'&&\lvert\; \text{ IV eingesetzt}\\&=\ldots &&\lvert\; \text{ ableiten überlasse ich dir} \\&=\underline{4^{n+1}(4x+n+1)\mathrm e^{4x}} \quad \checkmark\end{aligned}$$ Zum Schluss kommt also genau die rechte Seite der zu zeigenden Gleichung heraus und demnach war unsere Vermutung über die \(n\)-te Ableitung korrekt.
