Zeigen Sie, dass f: R Wurzel x bijektiv ist.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass f: R>=0 auf R>=0 x -> Wurzel x bijektiv ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe überhaupt keinen Plan, wie ich das machen soll.

Mein Versuch für die Injektivität:

Zu zeigen: Wurzel x1 = Wurzel x2 impliziert x1 = x2.

Beweis:

Sei a² = x1

b² = x2

Es folgt a² gleich b²

Daraus folgt x1 = x2

Stimmt das so? Und wie zeige ich Surjektivität?

Comments

Seien $x,y\in\mathbb R^+_0$ mit $f(x)=f(y)$. Dann gilt $x-y=(\sqrt x+\sqrt y)\cdot(\underbrace{\sqrt x-\sqrt y}_{=0})=0$, also $x=y$.

Answer 1

Aloha :)

Eine Funktion heißt surjektiv, wenn jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal erreicht wird. Sei also $y\in\mathbb R^{\ge0}$ ein Element aus der Bildmenge beliebig aber fest gewählt. Wir müssen ein $x\in\mathbb R^{\ge0}$ aus der Definitionsmenge finden, die auf dieses $y$ abbildet.$$y\stackrel{!}{=}f(x)=\sqrt x\quad\Rightarrow\quad x=y^2\in\mathbb{R^{\ge0}}$$Für jedes $y\in\mathbb{R}^{\ge0}$ aus der Zielmenge, können wir $x=y^2\in\mathbb R^{\ge0}$ aus der Definitionsmenge angeben, das auf dieses $y$ abbildet. Die Funktion ist also surjektiv.

Eine Funktion heißt injektiv, wenn jedes Element der Zielmenge höchtenst 1-mal erreicht wird. Wir nehmen daher an, es gebe zwei Werte $x_1,x_2\in\mathbb R^{\ge0}$ aus der Definitionsmenge, die auf dasselbe $y\in\mathbb R^{\ge0}$ abbilden:$$f(x_1)=y=f(x_2)\quad\Rightarrow\quad \sqrt{x_1}=\sqrt{x_2}\quad\Rightarrow\quad x_1=x_2$$Es gibt also keine zwei verschiedenen Elemnte aus der Definitionsmenge, die auf denselben Funktionswert abbilden. Die Funktion ist injektiv.