In welche Richtung bewegt sich der Lichtpunkt an der Stelle 2?

Question

Aufgabe:

Ein Lichtpunkt bewegt sich längs einer Kurve, die durch die Funktion f mit f(x) =x^3-x gegeben ist.

In welche Richtung bewegt sich der Lichtpunkt an der Stelle 2? Gib einen Richtungsvektor der Tangente an.

Problem/Ansatz:

Ich habe nur herausgefunden, dass die Steigung k=11 ist und der Neigungswinkel der Tangente = 84.8° aber sonst komme ich leider nicht weiter :(

Answer 1

Ein Lichtpunkt bewegt sich längs einer Kurve, die durch die Funktion f mit f(x) =x^3 - x gegeben ist. In welche Richtung bewegt sich der Lichtpunkt an der Stelle 2? Gib einen Richtungsvektor der Tangente an.

Laut Steigungsdreieck geht man 1 nach rechts und 11 nach oben bei der Steigung 11. Als vektor geschrieben bedeutet das.

$$\vec v = \begin{pmatrix} 1\\11 \end{pmatrix}$$

Denk also nicht zu kompliziert.

Comments

Okay merk ich mir! Vielen, vielen Dank!

Answer 2

Aloha :)

Die Tangente an \(f(x)=x^3-x\) an der Stelle \(x=2\) lautet:

$$t_2(x)=f(2)+f'(2)\cdot(x-2)=\left.(x^3-x)\right|_{x=2}+\left.(3x^2-1)\right|_{x=2}\cdot(x-2)$$$$\phantom{t_2(x)}=(8-2)+(3\cdot2^2-1)\cdot(x-2)=6+11(x-2)=11x-16$$Die Parameterdarstellung dazu lautet:$$\binom{x}{y}=\binom{x}{t_2(x)}=\binom{x}{11x-16}=\binom{0}{-16}+x\binom{1}{11}$$Daraus kannst du den Richtungsvektor \(\binom{1}{11}\) der Tangente ablesen.

Comments

Aloha! Danke schön für Ihre Antwort! Könnten Sie mit bitte aber Ihren Rechenweg von t(x) = f(2)+f'(2)x(x-2) genauer erklären?

---

Eine Geradengleichung lautet allgemein:$$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$Dabei ist \(m\) die Steigung der Gerden und \((x_1;y_1)\), \((x_2;y_2)\) sind 2 Punkte auf der Geraden. Hier kennen wir im konkreten Fall die Steigung$$m=f'(2)$$haben einen gegebenen Punkt$$(x_1;y_1)=(2;f(2))$$und suchen allgemein den Punkt$$(x_2;y_2)=(x;y)$$Wir setzen alles ein und finden:$$f'(2)=\frac{y-f(2)}{x-2}\quad\Leftrightarrow$$$$f'(2)\cdot(x-2)=y-f(2)\quad\Leftrightarrow$$$$y=f(2)+f'(2)\cdot(x-2)$$Die allgemeine Formel für eine Tangente an eine Funktion \(f(x)\) im Punkt \(x_0\) lautet:$$t(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$

---

wow ok! Vielen Dank:)