Zeige, dass O ein Unterring von K ist, aber kein Unterkörper.

Question

Aufgabe:

O:= {a+i*b*√5 , a,b∈ℤ}⊂K  K:={a+i*b*√5 , a,b∈ℚ}⊂ℂ

a) Zeige, dass O ein Unterring von K ist, aber kein Unterkörper.

Problem/Ansatz:

Ich bin mir etwas unsicher wie ich den Unterring beweisen soll, um zu zeigen, dass es ein Ring ist, habe ich hier die Definition:

1) (R,+) bildet eine abelsche Gruppe mit (e=0)

2) Assoziativgesetz

3) Distributivgesetz

Reichen diese 3 Punkte aus um ein Unterring zu beweisen?

Answer 1

Für unterring reicht Abgeschlossenheit und nicht leer und Existenz der additiven Inversen.

Diee anderen GeSetze gelten in C also auch in O

Answer 2

Reichen diese 3 Punkte aus um ein Unterring zu beweisen?

Noch nicht ganz.

Damit R ein Ring ist, brauchst du eine Multiplikation, also eine Abbildung

        · : R×R → R.

In K hast du eine Multiplikation

  ·_K : K×K → K

weil K ein Körper ist. Schränkst du diese Multiplikation auf O ein, dann hast du eine Abbildung

  ·_O : O×O → K

also mit Zielmenge K. Damit O ein Ring ist, muss aber die Zielmenge O sein. Du musst also noch zeigen

        Multipliziert man zwei Elemente aus O, dann liegt das Ergebnis in O.

Ähnliches musst du auch für die Addition zeigen.

Distributivgesetz, Assoziativgesetze für Multiplikation und Addition und Kommutativgesetz für Addition sind dagegen recht schnell gezeigt, deren Gültigkeit in O folgt unmittelbar aus ihrer Gültigkeit in K.

Comments

Also die Abgeschlossenheit der Addition würde ich wie folgt zeigen:

(a+ib√5)+(c+id√5) = (a+c)+ i*(b+d)*√5  und für a,b,c,d∈ℤ folgt das auch (a+c),(b+d)∈ℤ und somit ist ((a+c)+ i*(b+d)*√5)∈O

Für die Abgeschlossenheit der Multiplikation:

(a+ib√5)*(c+id√5) = (a*c-b*d)+i*(a*d+b*c)*√5, für a,b,c,d∈ℤ ist (a*c-b*d),(a*d+b*c)∈ℤ

und somit ist (a*c-b*d)+i*(a*d+b*c)*√5∈ℤ

Ist meine Überlegung richtig?

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(a+ib√5)+(c+id√5) = (a+c)+ i*(b+d)*√5  und für a,b,c,d∈ℤ folgt das auch (a+c),(b+d)∈ℤ und somit ist ((a+c)+ i*(b+d)*√5)∈O

Ist richtig.

(a+ib√5)*(c+id√5) = (a*c-b*d)+i*(a*d+b*c)*√5

Hier hast du nicht richtig ausmultipliziert.