2^n > n^2 für alle natürlichen Zahlen n > gleich 5

Question

Aufgabe: Vollständige Induktion

Für alle natürlichen Zahlen n > gleich 5 gilt:

2^n > n^2

Ansatz:

1. Induktionsanfang: Die Behauptung gelte für n=5

2^5 > 5^2

2.Induktionsschritt

2.1 Induktionsvoraussetzung

2^n > n^2

2.2. Induktionsbehauptung: Die Behauptung gelte für n+1

2^(n+1) > (n+1)^2

2.3. Beweis ....

Comments

2ⁿ⁺¹ = 2·2ⁿ > 2·n² > n² + 3n > n² + 2n + 1 = (n+1)².

Answer 1

multipliziere die Ind Vors mit 2 zeige dann, dass n^2>2n+1 ist für n>=5

also ne zweite  leichtere Induktion.

Gruss lul

Answer 2

Induktionsschritt

2^(n+1) > (n+1)^2
2 * 2^n > n^2 + 2n + 1
2 * n^2 > n^2 + 2n + 1
n^2 > 2n + 1
n^2 > 2n + n
n^2 > 3n
n * n > 3 * n
n > 3