Radius vom Kreissektor mithilfe vom Umfang und Winkel berechnen

Question

Ich soll von einem Kreissektor den Radius, die Bogenlänge und den Flächeninhalt berechnen, jedoch habe ich nur den Winkel Alpha: 18° angegeben und den Umfang vom Sektor, welcher 6,9 cm beträgt.

Ich möchte zuerst den Radius berechnen und habe als erstes versucht die Formel für den Umfang U=b+2*r nach r umzuformen, jedoch fehlt mir jedes Mal die zweite Variable, wenn ich die Formeln nach meinem Radius umforme.

Answer 1

Aloha :)

Wenn du den Winkel ins Bogenmaß umrechnest, lautet er $\alpha=18^\circ\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{\pi}{10}$ und es gilt:

$$b=\alpha\cdot r\quad;\quad b=\text{Bogenlänge des Sektors}\quad;\quad r=\text{Radius}$$Hier ist der Umfang des Sektors gegeben: $U=2r+b$ bzw. $b=U-2r$. Das setzen wir in die Gleichung für $b$ ein:$$U-2r=\alpha\cdot r$$und stellen die Formel nach $r$ um:$$U=2r+\alpha r=(2+\alpha)\,r\quad\Rightarrow\quad r=\frac{U}{2+\alpha}$$Einsetzen aller Werte liefert:$$r=\frac{6,9\,\mathrm{cm}}{2+\frac{\pi}{10}}=2,9816\,\mathrm{cm}$$Damit haben wir auch die Bogenlänge:$$b=\alpha\cdot r=\frac{\pi}{10}\cdot2,9816\,\mathrm{cm}=0,9367\,\mathrm{cm}$$Der Flächeninhalt ist nun simpel:$$F=\pi\,r^2\cdot\frac{18}{360}=1,3965\,\mathrm{cm}^2$$

Comments

Hallo Tschaka,
Ich habe meine Informationen von

https://www.mathe-lexikon.at/geometrie/ebene-figuren/kreis/kreissekt…

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Der Umfang des Sektors ist hier offenbar der Umfang des gesamten Tortenstücks, also vom Mittelpunkt den Radius entlang zum Rand, dann die Bogenlänge und schließlich wieder der Radius zurück zum Mittelpunkt. Deswegen $U=2r+b$. Die Formeln aus der Formelsammlung sind daher hier nicht ohne Anpassung anwendbar.

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Verstehe, vielen Dank! Auf die Idee mit dem Bogenmaß wäre ich nicht gekommen. Dann werde ich das Thema noch einmal wiederholen ^^

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Oha, ich dachte das wäre klar, deswegen heißt es doch Bogenmaß ;)

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Eine Frage die ich noch habe ist, ob die Formel $b=\pi*r*\frac{α}{180}$ zu b=a*r umgeformt wurde, da mit Bogenmaß gerechnet wird?

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Ja genau, in der Formel steckt der Faktor $\frac{\pi}{180}$ mit dem man einen Winkel vom Grad-Maß ins Bogenmaß umwandelt. Wenn der Winkel im Bogenmaß vorliegt, entfällt dieser Faktor in der Formel.

Answer 2

Hinweis
https://de.wikipedia.org/wiki/Kreissektor

Der erste Schritt wäre die Erkenntnis

18 ° zu 6.9 = 360 ° zu U

U ist der Gesamtumfang

18 ° / 6.9 = 360 ° / U

U = 138 cm
Jetzt den Radius aus dem Umfang berechnen
U =  2 * r * pi = 138

Comments

Die Bogenlänge ist eigentlich der ( Teil-) Umfang
des Kreissektors also 6.9 cm

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Sektor
alpha = 18 °
U = b + 2*r
U = 6.9 cm
6.9 = b + 2r
b = 6.9 - ( 2r )

GU = Gesamtumfang Kreis
GU = b *360 / 18 = b * 20
und
GU = r * 2 * pi

20  * b = r * 2 * pi
20 * ( 6.9 - 2r ) = r * 2 * pi

r = 2.98  cm

Answer 3

$$U=6,9cm; α=18°$$Einheitskreis$$A_E=π/360*18=π/20$$$$U_E=2π/360*18+2=π/10+2$$$$A=A_E*(U/U_E)^2$$$$A=π/20*(6,9/(π/10+2)^2$$$$A≈1,396cm^2$$