Zeigen Sie, dass die homogene Differentialgleichung eine Lösung der Form y_1 = x^n besitzt.

Question

Aufgabe:

Gegeben sei das Anfangswertproblem
x³ y'' + x y' − y = 1
y (1) = 3 , y' (1) = 4

a) Zeigen Sie, dass die homogene Differentialgleichung eine Lösung der Form y_1 = x^n besitzt.

b) Welche einfache Lösung der inhomogenen Gleichung kann sofort erraten werden?

Problem/Ansatz:

Also mein Ansatz war ich habe x^n zwei mal abgleitet: Das macht dann einmal y'_1 = n*x^n-1 und einmal y''_1 = (x-1)nx^n-2.

Dass setzt ich dann jeweils in die Gleichung ein, also für y'', y' und y. Da wir die Lösung für dass homogene Gleichungssystem suchen, setzte ich noch null.

Also -- >  x³((n-1)nx^n-2) + x(nx^n-1)-x^n = 0  und jetzt weiß ich auch nicht mehr weiter.

Wie zeige ich dass..... und welche Lösung lässt sich den ablesen? Ist damit der Satz com Nullprodukt gemeint? Weil wenn x = 0 ist sind beide gleichung null und übrig bleibt dann x^n = 0 oder wie?

Danke für die Hilfe

Gruß

Mehmet…

Answer 1

Wenn dU \( x^n \) differenzierst und in die homogene Dgl. einsetzt, bekommst Du $$ x^n (x n +1 ) (n - 1) = 0  $$ Daraus ergibt sich \( n = 1 \)

Ein inhomogen Lösung ist \( y_I(x) = -1 \).

In Summe ist also \( y(x) = ax -1 \) eine Lösung der Dgl.

Mit \( y(1) = 3 = a-1 \) folgt \( a = 4 \) und damit gilt auch \( y'(1) = 4 \)

Comments

Es gibt sicher noch andere Lösungen.

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Sorry aber wieso bekommen Sie da so etwas raus. Wenn ich xⁿ differenziere kommt da doch nicht dass raus.

Also xⁿ differenziert ist y₁' = n*x^n-1 nochmal abgeleitet ergibt dass: y₂'' = (n-1)n*x^n-2  ...

So dass setzte ich jetzt ein. Und dass macht bei mir was ganz anderers.

Und zwar das hier: x³ *(n-1(n*x^n-2)) + x*(n*x^n-1) - xⁿ = 0.

Ich verstehe ihre Schritte nicht wir haben neu mit DGL angefangen, sie sind da schon viel länger dabei ich sehe dass zum ersten mal.

Ich brauche da erklärungen und wie sie von da nach da kommen und weshalb und gehört dass zu a oder zu b.

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\(  x \) Terme zusammenfassen und dann \( x^n \) ausklammern.

Answer 2

Hallo,

Ansatz:

y=x*z

y'=x z'+z

y'' = x z'' +2z'

->Einsetzen in die DGL:

x^4 z'' +2x^3 z' +x^2 z' =1

x^4 z'' + z' (2x^3 +x^2) =1

Substituiere:

z' =u

z'' =u'

usw.

y= C₁ \( \sqrt[x]{e} \) *x +C₂x -1

Lösung: y=4x -1 (mit AWB)

Comments

Dass verstehe ich nicht. WOher kommt den z da sthet doch dass x^n = y ist,

Den Ansatz verstehe ich nicht.

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Die Variablen u und x kann man hier nicht trennen. Der Ansatz ist misslungen.

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Der Ansatz ist misslungen. -------<Du irrst, hast Du das denn mal gerechnet?

Durch die Substitution und anschl. Variation der Konstanten kannst Du die Aufgabe sicher lösen.