Komplexe Zahlen Polarform

Question

Aufgabe:

z= (-2+2i)⁷ \ (1+i)⁵

Problem/Ansatz:

Vereinfache folgende Ausdrücke mithilfe der Polarform

( \ = Division)

Answer 1

Genau, prinzipiell gehst du bei jeder solcher Divisionsaufgaben im Komplexen so vor, dass du erst die den Bruch dividierst, indem du mit dem Komplex Konjugierten des Nenners multiplizierst, dann hast du den Realteil und Imaginärteil (i gehört nicht dazu). Falls eine Komplexe Zahl z wir haben, dann sagen wir z=a+bi, wobei der Realteil also a und b der Imaginärteil ist

Für den Betrag/Modul r rechnest du dann r= \( \sqrt{a^2 + b^2} \)  und für das Argument ψmusst du beachten, wo sich die Zahl im Koordinatensystem befindet..

normalerweise hast du arctan b/a falls a>0 ist,

arctan b/a + π wenn a<0 und b größer gleich 0 ist (also im 2. Quadrant liegt),

arctan b/a - π als Winkel/Argument hast du dementsprechend, wenn sich die Komplexe Zahl im 3. Quadrant befindet (also unten links im Koordinatensystem),

π/2 wenn der Realteil a = 0 ist und b > 0, und analog -π/2 wenn a = 0 ebenfalls ist, aber hier liegt b unter 0 (b<0).

Dann als Polardarstellung setzt du das r und argument ψ ein also z= r* e^iψ

Ich hoffe, ich konnte dir weiterhelfen,

LG
ziplinevanessa :)

Answer 2

(-2+2i):

Argument: 3π/4

Betrag: \( 2\sqrt{2} \)

\((-2+2i)^7\):

Argument: 7*3π/4
Betrag: \( (2\sqrt{2})^7=1024\sqrt{2} \)

(1+i):
Argument: π/4
Betrag: \( \sqrt{2} \)

(1+i)⁵:
Argument: 5*π/4
Betrag: \( (\sqrt{2})^5=4\sqrt{2}\)

Um den gesuchten Quotienten zu bilden:

Dividiere die Beträge (Ergebnis: 256)

Subtrahiere die Argumente: (Ergebnis 4π, entspricht 0π).

Answer 3

Aloha :)

$$(-2+2i)=\sqrt{(-2)^2+2^2}\,e^{i(\arctan(\frac{2}{-2})+\pi)}=\sqrt8\,e^{i\,\frac{3}{4}\,\pi}$$$$(1+i)\quad\;=\sqrt{1^2+1^2}\,e^{i\arctan(\frac{1}{1})}=\sqrt2\,e^{i\,\frac{1}{4}\,\pi}$$$$\frac{(-2+2i)^7}{(1+i)^5}=\frac{(\sqrt8\,e^{i\,\frac{3}{4}\,\pi})^7}{(\sqrt2\,e^{i\,\frac{1}{4}\,\pi})^5}=\frac{(2\sqrt2)^7\,e^{i\,\frac{21}{4}\,\pi}}{(\sqrt2)^5e^{i\,\frac{5}{4}\,\pi}}=2^7(\sqrt2)^2\,e^{i\,(\frac{21}{4}-\frac{5}{4})\,\pi}=2^8\,e^{i\,4\pi}=256$$