Bestimme für f eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von f

Question

Aufgabe:

Ich soll für f:R^3-> R^3, x -> \( \begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -2 & -4 & 1 \end{pmatrix} \) ×x

Eine ONB aus Eigenvektoren bilden.

f ist selbstadjungiert

Problem/Ansatz:

Ich weis, dass man mit dem Spektralsatz eine ONB aus Eigenvektoren bilden kann für die gilt f(b_i)=λ_i×b_i (Weil f selbstadjungiert ist)

Als Eigenwerte bekomme ich heraus:

x_1= 3, x_2=\( \frac{3}{2} \)+ \( \frac{\sqrt{23}}{2} \) ×i und x_3= \( \frac{3}{2} \)- \( \frac{\sqrt{23}}{2} \) ×i

Jetzt weiß ich allerdings nicht wie ich den Spektralsatz anwenden kann. Nehme ich einfach drei Eigenvektoren und schreibe diese mit den Eigenwerten als Orthonormalbasis auf oder muss ich vorher noch was normieren wie sonst auch?

Comments

Wieso ist f selbstadjungiert?

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In Aufgabe a) mussten wir zeigen das f selbstadjungiert ist.

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Entschuldigung ich  hab die Matrix falsch aufgeschrieben

f: R^3->R^3, x-> \( \begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ -2 & -2 & -1 \end{pmatrix} \) ×x

Jetzt ist f richtig aufgeschrieben.

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Du hättest erwähnen sollen, dass sich "selbstadjungiert" auf das spezielle Skalarprodukt in Deinem anderen Post bezieht. Oder?

Dann habe ich die Eigenwerte -1,2,3 heraus.

Gruß