Surjektivität Beweis x^3-x

Question

Aufgabe:

Wie beweist man, dass die Funktion f(x) = x^3-x (ℝ->ℝ) surjektiv ist? Man könnte die Funktion natürlich zeichnen und das anhand dessen argumentieren aber mein Prof. meint das reicht nicht. Und bei der Umformung: x^3-x = y komme ich nicht weit.

Answer 1

Aloha :)

Gegeben ist uns die Funktion:$$f:\,\mathbb R\to\mathbb R\;:\;x\mapsto f(x)=x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)$$Durch die Zerlegeung in Linearfaktoren erkennen wir:$$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}\le0 & \text{für} & x\le-1\\\ge0 & \text{für} & x\ge1\end{array}\right.$$Zusätzlich gilt:$$\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\quad;\quad\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\infty$$Da alle Polynome stetig sind, ist auch die Funktion \(f\) stetig. Das heißt für \(x\le-1\) nimmt die Funktion \(f\) alle Werte aus \(\mathbb R^{\le0}\) an und für \(x\ge1\) nimmt sie alle Werte aus \(\mathbb R^{\ge0}\) an. Dadurch wird jedes Element der Wertemenge \(\mathbb R\) mindestens 1-mal erreicht. Die Funktion ist also surjektiv.

Answer 2

schau dir bei deiner Umformung

\( x^3 - x = y \)

mal die Nullstellen an. Was kannst du über denen sagen und wie helfen sie dir beim Beweis, dass die Funktion Surjektiv ist?

Lg

Comments

$$Xn_{(1,2,3)}= [-1;0;1]$$

$$-\lim\limits_{x\to\infty}=x^3-x=-∞$$

$$+\lim\limits_{x\to\infty}=x^3-x=+∞$$

Interessante Aufgabe. Helfen uns die Grenzwerte auch? Bin auch gerade am lösen dieser Aufgabe, aber weiß auch nicht weiter. An sich hat man dich mit den Grenzwerten und den Nullstellen die Subjektivität bewiesen oder? (Meine Theorie)

Weil die Nullstellen allein sagen ja nichts über das Grenzverhalten der Funktion aus.

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Grenzwerte helfen hier auch - aber nur, wenn man die Stetigkeit nachgewiesen hat. Denn die Funktion könnte Werte von \( -\infty \) bis \( +\infty \) annehmen, aber durch eine Unstetigkeitsstelle gibt es dann trotzdem noch ein \( y \in \mathbb{R} \), für das es kein \( x \in \mathbb{R} \) gibt.

Ist die Funktion aber stetig, so wird jeder Punkt getroffen und die Funktion ist damit surjektiv.

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Also kann man das auch ohne die Grenzwerte machen?

Wenn ja, kannst du mir einen Tipp geben.

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Die Stetigkeit von \( f(x) = x^3-x \) zu zeigen, ist sehr einfach und auch schnell gemacht, wenn man die entsprechenden Sätze und Definitionen hatte und anwenden darf.

Denn \( f(x) \) ist ein Polynom und Polynome sind ganz blöd gesagt, viele einzelne stetige Funktionen, die aufsummiert werden.

Der Weg über die Nullstellen kommt ohne die Stetigkeit und die Grenzwertbetrachtung aus.

Betrachte dazu \( x^3-x = y \), wobei das \( y \) aus dem Wertebereich \( \mathbb{R} \) ist. \( x^3-x \) ist ein Polynom mit ungeradem Grad und kann deshalb auch negative Werte annehmen. Du wirst also immer mindestens ein \( x \) aus deinem Definitionsbereich \( \mathbb{R} \) finden können, sodass \( x^3-x = y \) gilt.

Daraus folgt Surjektivität.

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Verstehe. Also wäre das genug:

$$\forall x \in X\  \exists y \in Y\ \text{ da }\ y \in \mathbb {R} \ $$

Was ich sagen will:

Für alle x in X gibt es mind. ein y in Y, da y Element der Reellen Zahlen ist.

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Moment....

Du sagtest ja:  \( y \) aus dem Wertebereich \( \mathbb{R} \) ist. \( x^3-x \)...

Du wirst also immer mindestens ein \( x \) aus deinem Definitionsbereich \( \mathbb{R} \) finden können, sodass \( x^3-x = y \) gilt.

Also: $$y\in \mathbb{R}\ ∧\ ∃ \ x \ ∈\mathbb{R} \ | \ y=x^3-x$$

Wäre das ein Mathematisch korrekter Beweis?

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Besser wäre eine Begründung der Form

\( \forall y \in \mathbb{R} \exists x \in \mathbb{R}: x^3-x = y\), weil \( x^3-x \) als Polynom ... (Rest ca. wie oben).

Von mir aus auch den Text von mir ab "Betrachte dazu ...".

Denn nur \( \forall y \in \mathbb{R} \exists x \in \mathbb{R},\) da \(y \in \mathbb{R}  \) sagt alleine nichts aus.

Korrektoren haben in der Regel auch kein Problem damit, wenn du ein wenig Text dazu schreibst, warum es so ist.

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Ok verstehe, also ist die Hauptaussage die, dass die Funktion als Polynom alle werte in R annehmen kann (+ und -) und daher jedes y mind. 1 Bild in x hat.

Aber die Nullstellen muss man doch auch berücksichtigen oder? Weil so könnte man ja auch denken es handelt sich um eine Lineare Funktion. Oder reicht das, wenn man dann einfach wie du die Funktion nochmal hinschreibt?

Da man ja so nicht erkennen kann, dass es auch werte gibt die 2 Punkte bei y haben.

z.B.: die Nullstellen.

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"Für alle x in X gibt es mind. ein y in Y, da y Element der Reellen Zahlen ist."

Ich glaube, du hast bei der Definition von Surjektivität etwas durcheinander bekommen. Deshalb nochmal in Kurzform:

Haben wir eine Funktion \( f(x): A \to B, x \mapsto f(x)\) gegeben mit dem Definitionsbereich A und dem Wertebereich B.

Die Definition von Surjektivität lautet in diesem Fall dann:

\( \forall y \in B \exists x \in A: f(x) = y\)

In Worten: Für jedes \(y\) aus der Menge \(B\) wirst du mindestens ein \(x\) aus der Menge \(A\) finden können, welches auf \(y\) abgebildet wird.

Ganz einfach gesagt bedeutet dass, dass jedes Element in \(B\) mindestens einmal von der Funktion getroffen wird.

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Verstehe. Setzt das dann voraus, dass wir bereits die Nullstellen gefunden haben. Weil nach deiner Definition könnte es ja auch eine lineare Funktion sein.

Kurz gesagt: wo ist der Teil, der uns sagt, das die Funktion an einem y-Wert 2 oder mehr x-Werte hat.

Wenn das durch die Nullstellen (die wir vorher berechnet haben) schon erläutert wurde, habe ich es verstanden.

Oder ist dass das mit dem negativen, was du meinst . Also bei z.b. 1 bzw. -1 für x.

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Die Nullstellen musst du nicht extra noch berücksichtigen, denn die hast du dir schon angeschaut.

Wenn deine Funktion von der Form \( f: A \to B \) mit einer beliebigen Abbildungsvorschrift ist und du sagst, dass du für ALLE \( y \in B \) mindestens ein \( x \in A \) finden kannst, welches unter der Abbildungsvorschrift auf das \(y\) abgebildet wird, dann hast du auch automatisch die Nullstellen mit beachtet, denn diese liegen schon in deinem \( B\) drin.

Denn es gibt für alle y aus B ein x aus A, also gibt es auch für

\( 0 \in B \) mindestens ein \( x \in A\), s.d. \(f(x) = 0\).

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Ich schreibe dir den Beweis, wie er in etwa aussehen könnte, mal hin. Vielleicht hilft dir das zusätzlich für das Verständnis:

Sei \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto x^3 - x\) gegeben.

Sei weiter \( y \in \mathbb{R} \) beliebig mit

\( x^3 - x = y \).

Wir haben auf der linken Seite ein Polynom dritten Grades stehen. Es werden also negative sowie positive y-Werte angenommen.

Deshalb gibt es für alle \(y \in \mathbb{R}\) mindestens ein \(x \in \mathbb{R}\), sodass \(f(x) = y\).

Das ist aber gerade die Definition von Surjektivität, also folgt daraus, dass \(f\) surjektiv ist.

Answer 3

Wisse, dass die Funktion Punktsymmetrisch ist und schau dir mal die Nullstellen an

x^3 - x = 0

Mit dem verhalten im Unendlichen und der Tatsache dass die Funktion stetig ist, kann man auch begründen das jeder Wert in R einmal angenommen wird.

Und ein kleiner Tipp. Wenn du die Funktion Skizziert hattest, dann wärst du vermutlich auch selber auf die Idee gekommen.

~plot~ x^3-x ~plot~