Ableitungsregel für tan x herleiten

Question

Ich hab hier \( \tan x=\frac{\sin x}{\cos x} \)

gegeben und muss aus dieser Beziehung die Ableitungsregel für tan x herleiten.

Wie muss ich da vorgehen?

Answer 1

Nimm die Quotienten Regel $$ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{ u' v - v' u } { v^2 } $$

Comments

Ach ja genau, danke! ;)

Answer 2

Aloha :)

Mit der Quotientenregel bekommst du:$$\left[\tan x\right]'=\left[\frac{\overbrace{\sin x}^{=u}}{\underbrace{\cos x}_{=v}}\right]'=\frac{\overbrace{\cos x}^{=u'}\,\overbrace{\cos x}^{=v}-\overbrace{\sin x}^{=u}\,\overbrace{(-\sin x)}^{=v'}}{\underbrace{\cos^2x}_{=v^2}}=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2x}$$In der Praxis ist die Ableitung in einer anderen Form oft hilfreicher:$$\left[\tan x\right]'=\frac{1}{\cos^2x}=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{\cos^2x}{\cos^2x}=\frac{\sin^2x}{\cos^2x}=1+\tan^2x$$