Bestimmen Sie eine Basis des R-Vektorraums U2 = <(1, 2, 3, 4),(5, 6, 7, 8),(2, 1, 0, −1)> ⊆ R4 .

Question

Aufgabe:

… Bestimmen Sie eine Basis des R-Vektorraums U2 = <(1, 2, 3, 4),(5, 6, 7, 8),(2, 1, 0, −1)> ⊆ R4
[.<(1, 2, 3, 4),(5, 6, 7, 8),(2, 1, 0, −1)> müsste einfach das Erzeugendensystem sein ]

Problem/Ansatz:

… Hey ich habe angefangen die lineare Abh. mithilfe eines LGS zu überprüfen und am ende aber 3 Nullzeilen raus bekommen, jetzt habe ich generell schon gesehen dass man wenn man eine Nullzeile raus bekommt das ganze mithilfe von Parametern lösen soll aber bin mir nicht sicher wie ich das hier machen und dann noch auf die Lösung der eigentlichen Aufgabe übertragen kann.

$$\begin{pmatrix} 1 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0  \end{pmatrix}$$

Answer 1

Aloha :)

Du möchtest ja die lineare Abhängigkeit, soweit vorhanden, aus den 3 Vektoren in \(U2\) herausrechnen. Das kannst du mit elementaren Gauß-Umformungen machen. Wenn du die Vektoren allerdings als Spalten in eine Matrix scheibst, muss du elementare Spalten-Umformungen verwenden. Wenn du sie als Zeilen in eine Matrix scheibst, helfen elementare Zeilenumformungen weiter. Ich führe das an deinem Beispiel mal mit Spalten-Umformungen vor. Bringend wir also die Matrix auf Dreieckgestalt:$$\begin{array}{rrr} & -5S_1 & -2S_1\\\hline1 & 5 & 2\\2 & 6 & 1\\3 & 7 & 0\\4 & 8 & -1\end{array}\to\begin{array}{rrr} & :(-4) & :(-3)\\\hline1 & 0 & 0\\2 & -4 & -3\\3 & -8 & -6\\4 & -12 & -9\end{array}\to\begin{array}{rrr} -S_2 &  & -S_2\\\hline1 & 0 & 0\\2 & 1 & 1\\3 & 2 & 2\\4 & 3 & 3\end{array}\to\begin{array}{rrr} \vec b_1 & \vec b_2 & \\\hline1 & 0 & 0\\1 & 1 & 0\\1 & 2 & 0\\1 & 3 & 0\end{array}$$Es bleiben 2 linear unabhängige Vektoren \(\vec b_1\) und \(\vec b_2\) übrig. Diese bilden einen Basis des \(U2\). Beachte bitte, dass die Basis nicht eindeutig ist, wir haben also nur eine mögliche Basis angegeben. Allerdings ist die Dimension der Basis immer gleich.

Comments

Danke dir! Das ist ja quasi einfach das reduzieren des EZGsystems auf die Basis (vielfache der Vektoren mit einander verrechnen um zu sehen welche "überflüssig" sind) und das einfach nur eine sinnvolle Darstellung davon oder? Hatte das komplett vergessen *facepalm*

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Ja, du hast das Vorgehen schön zusammengefasst ;)