Zeige, dass f an der Stelle a stetig ist.

Question

Ich bräuchte bitte Hilfe bei dieser Aufgabe. Ich weiß, dass man f(a)-f(b) verwenden kann, aber ich weiß dann einfach nicht weiter.

Sei \( g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) eine Funktion, die an der Stelle \( a \) stetig ist. Weiter sei \( h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) eine beschränkte (aber nicht notwendigerweise stetige) Funktion. Wir definieren eine neue Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) durch
\(f(x):=h(x)(g(x)-g(a)) \quad \text { für alle } x \in \mathbb{R}\)
Zeige, dass \( f \) an der Stelle \( a \) stetig ist.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Stetigkeit an einer Stelle

Stichworte: stetigkeit,funktion,analysis

Hey mir fehlt der Ansatz für folgende Aufgabe. Ich würde mich sehr über Hilfe freuen :)

Sei g : R → R eine Funktion, die an der Stelle a
stetig ist. Weiter sei h : R → R eine beschränkte (aber nicht notwendigerweise
stetige) Funktion. Wir definieren eine neue Funktion f : R → R durch

f(x) := h(x)(g(x) − g(a)) für alle x ∈ R.

Zeigen Sie, dass f an der Stelle a stetig ist.

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@Lesia: Ist im Original die Frage schon vollständig und richtig gestellt, oder soll deiner Text der Nachfrage dort ergänzt werden?

Ist https://www.mathelounge.de/773174/zeigen-sie-dass-f-an-der-stelle-a-stetig-ist das Original?

Answer 1

Hallo

f(a)=0 also musst du nur zeigen dass  es  zu jedem ε ein delta gibt so dass  |f(a+delta)-0|<ε

dabei benutzen es gibt ein M mit h(x)<=m für alle x

lul

Answer 2

Was ist zu zeigen?

\(f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}\) ist genau dann stetig in \(a\in \mathbb{R}\), wenn es zu jedem \(\varepsilon >0\) ein \(\delta >0\) gibt, so dass \(|f(x)-f(a)|<\varepsilon\) für alle \(a\in \mathbb{R}\) mit \(|x-a|<\delta \).

Was wissen wir?

\(h\) heißt beschränkt, wenn es ein \(L\in \mathbb{R}^+\) gibt, so dass \(|h(x)|\leq L\) für alle \(x\in \mathbb{R}\).

\(g\) ist stetig in \(a\), d. h. \(\forall \varepsilon\) \(\exists \delta_1 >0\), so dass \(|x-a|<\delta_1 \Rightarrow |g(x)-g(a)|<\varepsilon\)

Let's go:

$$ \begin{aligned} |f(x)-f(a)| & =|h(x)(g(x)-g(a))-h(a)(g(a)-g(a)|= |h(x)(g(x)-g(a))| \\ &  \leq L|g(x)-g(a)|\\ \end{aligned} $$

Was weißt du über \(|g(x)-g(a)|\)?

Comments

.. das < ε_{1 gilt} und somit ist g stetig in a oder?

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Der Index bei ∈₁ in der Antwort macht wohl keinen Sinn.

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Ja, sollte für \(\delta\) sein.

@Matheguru99:

Wie wählst du \(\delta\)?

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Ich habe leider gerade keine Ahnung.

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Muss ich nicht auch noch nachweisen, dass g eine Nullfolge ist?

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Bzw. wie lautet das jetzt mit \(\delta\)?