Finde die Funktionsvorschrift x-- A(x).

Question

Aufgabe:

Gegeben ist ein Rechteck mit den Seitenlängen 8cm und 5cm . Die kürzere Seite soll um x cm verlängern und die längere Seite um x cm verkürzt werden.

Finde die Funktionsvorschrift x-->A(x). Bei welchem Wert von x ist der Flächeninhalt maximal?

Problem/Ansatz:

Was ist die Funktionsvorschrift und wie finden wir die Funktionsvorschrift in dieser Frage ?

Answer 1

Aloha :)

Die Fläche kann beschrieben werden durch:$$A(x)=(5+x)(8-x)=40+3x-x^2$$Ihr Maximum finden wir durch folgende Umformung:

$$A(x)=-x^2+3x+40=-(x^2-3x-40)=-\left(x^2-3x+\frac{9}{4}\,\underbrace{-\frac{9}{4}-40}_{=-42,25}\right)$$$$\phantom{A(x)}=-\left(x^2-3x+\frac{9}{4}\right)+42,25=-\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+42,25$$

Die Fläche ist maximal für \(x=1,5\). Bei dieser Wahl wird aus dem Recheck ein Quadrat mit der Seitenlänge \(6,5\)cm.

Comments

Ich habe noch eine Frage .

Was ist Funktionsvorschrift und Warum benutzen wir sie ?

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Wir sollen ja die Fläche \(A\) (englisch für "area") betrachten. Die Funktionvorschrift gibt uns an, welche Fläche wir bekommen, wenn wir die kurze Seite um das Stück \(x\) verlängern und die lange Seite um das Stück \(x\) verkürzen. Du musst dann einfach nur \(x\) in die Formel$$A(x)=(5+x)(8-x)$$einzusetzen und kennst dann die Fläche.