Was kann über die Determinante von A gesagt werden?

Question

Aufgabe:

Eine n × n Matrix A habe eine Nullspalte. Was kann über die Determinante von A gesagt werden?

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz:

Eine Matrix mit Nullspalte ist nicht invertierbar - det(A)=0. Aber ich weiß trotzdem nicht, wie genau ich das beweisen könnte...

Answer 1

Aloha :)

Die Determinante einer \(n\times n\)-Matrix ist immer gleich dem \(n\)-dimensionalen Volumen, das durch die \(n\) Spalten- oder Zeilenvektoren aufgespannt wird. Wenn eine von diesen Spalten die Nullspalte ist, können die Vektoren kein \(n\)-dimensionales Volumen aufspannen und die Determinate ist null.

Comments

vieeeeeeelen DANK! Hat mir sehr geholfen! DANKE!!!

Answer 2

Entwickle die Determinante nach dieser Spalte, dann gibt

es eine Summe von der Art

0*Unterderminate + 0*Unterderminate +.....+ 0*Unterderminate , also

werden alles 0en addiert, und das gibt 0.

Answer 3

Hallo,

vielleicht mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz? Alternativ aber auch einfach mit dem Rang von A argumentieren. Für \(A\in M(n,K)\) gilt:$$\text{A ist invertierbar}\iff \operatorname{rang}(A)=n$$ Dementsprechend ist \(A\) nicht invertierbar, wenn \(\operatorname{rang}(A)<n\). Da \(\det(A^T)=\det(A)\) und der Rang die Anzahl der Nicht-Nullzeilen ist, sollte das kein Problem mehr sein.

Comments

Oh, daran hab ich gar nicht gedacht - sehr nachvollziehbar - TAUSEND DANK!! :) hat mir sehr geholfen!