Aloha :)
Das ist ein bekanntes Problem aus der numerischen Mathematik. Wenn du dir mal die Taylor-Entwicklung vor Augen führst
f(c±h)=f(c)±f′(c)h+2f′′(c)h2±6f′′′(c)h3+24f′′′′(c)h4+O(h5)
Damit erhältst du für die erste Ableitung:
=2hf(c+h)−f(c−h)=2h[f(c)+f′(c)h+2f′′(c)h2+O(h3)]−[f(c)−f′(c)h+2f′′(c)h2−O(h3)]=2h2f′(c)h+2O(h3)=f′(c)+O(h2)Das heißt, der Wert dieses modifizierten Differenzenquotienten weicht in der Größenorndung O(h2) vom tatsächlichen Wert f′(c) ab. Das ist numersich erheblich stabiler als der "normale" Differenzenquotient, der einen Fehler in der Ordnung O(h) aufweist.
Mit der zweiten Ableitung funktioniert das ganz analog:
Wenn wir zur Taylor-Reihe für f(c+h) diejenige für f(c−h) addieren, fallen alle ungeraden Ableitungen raus. Wenn wir zusätzlich noch 2f(c) subtrahieren, bleiben nur Terme mit geraden Ableitungen ab 2-ter Ordnung aufwärts übrig. Wir tun das einfach mal:
f(c+h)+f(c−h)−2f(c)=22f′′(c)h2+224f′′′′(c)h4+O(h6)und erhalten daraus eine sehr gute Näherung für die zweite Ableitung, die ebenfalls nur in der Größenorndung O(h2) vom tatsächlichen Wert für f′′(c) abweicht:f′′(c)=h2f(c+h)−2f(c)+f(c−h)+O(h2)
Damit solltest du nun eigentlich die Aufgaben lösen können ;)