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Kann mir bitte jemand den Ansatz mit A1) und B1) erklären/zeigen damit ich dass auf die jeweilige andere projizieren kann.

Ich bekomme es leider auch nicht mit Onkel Google hin :(


Aufgabe:

Sei f : GR,GR. f: G \rightarrow \mathbb{R}, G \subset \mathbb{R} . Sei cG. c \in G . Zeigen Sie:
(a) (1) Für fC3(G) f \in C^{3}(G) gilt die Approximation
f(c)=f(ch)2f(c)+f(c+h)h2+O(h) f^{\prime \prime}(c)=\frac{f(c-h)-2 f(c)+f(c+h)}{h^{2}}+\mathcal{O}(h)

(2) Für fC4(G)) \left.f \in C^{4}(G)\right) gilt die Approximation
f(c)=f(ch)2f(c)+f(c+h)h2+O(h2) f^{\prime \prime}(c)=\frac{f(c-h)-2 f(c)+f(c+h)}{h^{2}}+\mathcal{O}\left(h^{2}\right)

(b) (1) Für fCs+1(G) f \in C^{s+1}(G) gilt die Approximation
f(s)(c)=f(s1)(c+h2)f(s1)(ch2)h+O(h) f^{(s)}(c)=\frac{f^{(s-1)}\left(c+\frac{h}{2}\right)-f^{(s-1)}\left(c-\frac{h}{2}\right)}{h}+\mathcal{O}(h)

(2) Für fCs+2(G) f \in C^{s+2}(G) ) gilt die Approximation
f(s)(c)=f(s1)(c+h2)f(s1)(ch2)h+O(h2) f^{(s)}(c)=\frac{f^{(s-1)}\left(c+\frac{h}{2}\right)-f^{(s-1)}\left(c-\frac{h}{2}\right)}{h}+\mathcal{O}\left(h^{2}\right)

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Entwickle f nach seiner Taylorreihe an der Stelle c:

f(c±h)=f(c)±f(c)h+12f(c)h2±...f(c\pm h) = f(c) \pm f'(c)\cdot h + \frac{1}{2}f''(c)\cdot h^2 \pm ...

Dann kürzt sich einiges weg.

2 Antworten

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Aloha :)

Das ist ein bekanntes Problem aus der numerischen Mathematik. Wenn du dir mal die Taylor-Entwicklung vor Augen führst
f(c±h)=f(c)±f(c)h+f(c)2h2±f(c)6h3+f(c)24h4+O(h5)f(c\pm h)=f(c)\pm f'(c)\,h+\frac{f''(c)}{2}\,h^2\pm\frac{f'''(c)}{6}\,h^3+\frac{f''''(c)}{24}\,h^4+O(h^5)

Damit erhältst du für die erste Ableitung:
=f(c+h)f(ch)2h\phantom{=}\frac{f(c+h)-f(c-h)}{2h}=[f(c)+f(c)h+f(c)2h2+O(h3)][f(c)f(c)h+f(c)2h2O(h3)]2h=\frac{[f(c)+f'(c)\,h+\frac{f''(c)}{2}\,h^2+O(h^3)]-[f(c)-f'(c)\,h+\frac{f''(c)}{2}\,h^2-O(h^3)]}{2h}=2f(c)h+2O(h3)2h=f(c)+O(h2)=\frac{2f'(c)\,h+2\,O(h^3)}{2h}=f'(c)+O(h^2)Das heißt, der Wert dieses modifizierten Differenzenquotienten weicht in der Größenorndung O(h2)O(h^2) vom tatsächlichen Wert f(c)f'(c) ab. Das ist numersich erheblich stabiler als der "normale" Differenzenquotient, der einen Fehler in der Ordnung O(h)O(h) aufweist.

Mit der zweiten Ableitung funktioniert das ganz analog:

Wenn wir zur Taylor-Reihe für f(c+h)f(c+h) diejenige für f(ch)f(c-h) addieren, fallen alle ungeraden Ableitungen raus. Wenn wir zusätzlich noch 2f(c)2f(c) subtrahieren, bleiben nur Terme mit geraden Ableitungen ab 2-ter Ordnung aufwärts übrig. Wir tun das einfach mal:

f(c+h)+f(ch)2f(c)=2f(c)2h2+2f(c)24h4+O(h6)f(c+h)+f(c-h)-2f(c)=2\frac{f''(c)}{2}\,h^2+2\frac{f''''(c)}{24}\,h^4+O(h^6)und erhalten daraus eine sehr gute Näherung für die zweite Ableitung, die ebenfalls nur in der Größenorndung O(h2)O(h^2) vom tatsächlichen Wert für f(c)f''(c) abweicht:f(c)=f(c+h)2f(c)+f(ch)h2+O(h2)f''(c)=\frac{f(c+h)-2\,f(c)+f(c-h)}{h^2}+O(h^2)

Damit solltest du nun eigentlich die Aufgaben lösen können ;)

Avatar von 152 k 🚀

Hallo,

Schreibfehler? Bei der ersten Ableitung: f(ch)-f(c-h) statt f(c)f(c)

Gruß

Ja, du hast völlig Recht... wird korrigiert ;)

Vielen Dank fürs Bescheid sagen ;)

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Ich zeige das mal für den Fall (a1). Das geht mit Taylorreihe

f(ch)=f(c)f(c)h+12f(c)h2+O(h3) f(c-h) = f(c)-f'(c)h+\frac{1}{2} f''(c)h^2 + \mathcal{O}(h^3)

f(c+h)=f(c)+f(c)h+12f(c)h2+O(h3) f(c+h) = f(c)+f'(c)h+\frac{1}{2} f''(c)h^2 + \mathcal{O}(h^3)

Also f(ch)2f(c)+f(c+h)h2=f(c)+O(h) \frac{f(c-h)-2f(c)+f(c+h)}{h^2} = f''(c) + \mathcal{O}(h)

Avatar von 39 k

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