Approximation mit der zweiten Ableitung (l‘hôpital?¿)

Question

Kann mir bitte jemand den Ansatz mit A1) und B1) erklären/zeigen damit ich dass auf die jeweilige andere projizieren kann.

Ich bekomme es leider auch nicht mit Onkel Google hin :(

Aufgabe:

Sei \( f: G \rightarrow \mathbb{R}, G \subset \mathbb{R} . \) Sei \( c \in G . \) Zeigen Sie:
(a) (1) Für \( f \in C^{3}(G) \) gilt die Approximation
$$ f^{\prime \prime}(c)=\frac{f(c-h)-2 f(c)+f(c+h)}{h^{2}}+\mathcal{O}(h) $$

(2) Für \( \left.f \in C^{4}(G)\right) \) gilt die Approximation
$$ f^{\prime \prime}(c)=\frac{f(c-h)-2 f(c)+f(c+h)}{h^{2}}+\mathcal{O}\left(h^{2}\right) $$

(b) (1) Für \( f \in C^{s+1}(G) \) gilt die Approximation
$$ f^{(s)}(c)=\frac{f^{(s-1)}\left(c+\frac{h}{2}\right)-f^{(s-1)}\left(c-\frac{h}{2}\right)}{h}+\mathcal{O}(h) $$

(2) Für \( f \in C^{s+2}(G) \) ) gilt die Approximation
$$ f^{(s)}(c)=\frac{f^{(s-1)}\left(c+\frac{h}{2}\right)-f^{(s-1)}\left(c-\frac{h}{2}\right)}{h}+\mathcal{O}\left(h^{2}\right) $$

Comments

Entwickle f nach seiner Taylorreihe an der Stelle c:

$$f(c\pm h) = f(c) \pm f'(c)\cdot h + \frac{1}{2}f''(c)\cdot h^2 \pm ...$$

Dann kürzt sich einiges weg.

Answer 1

Aloha :)

Das ist ein bekanntes Problem aus der numerischen Mathematik. Wenn du dir mal die Taylor-Entwicklung vor Augen führst
$$f(c\pm h)=f(c)\pm f'(c)\,h+\frac{f''(c)}{2}\,h^2\pm\frac{f'''(c)}{6}\,h^3+\frac{f''''(c)}{24}\,h^4+O(h^5)$$

Damit erhältst du für die erste Ableitung:
$$\phantom{=}\frac{f(c+h)-f(c-h)}{2h}$$$$=\frac{[f(c)+f'(c)\,h+\frac{f''(c)}{2}\,h^2+O(h^3)]-[f(c)-f'(c)\,h+\frac{f''(c)}{2}\,h^2-O(h^3)]}{2h}$$$$=\frac{2f'(c)\,h+2\,O(h^3)}{2h}=f'(c)+O(h^2)$$Das heißt, der Wert dieses modifizierten Differenzenquotienten weicht in der Größenorndung \(O(h^2)\) vom tatsächlichen Wert \(f'(c)\) ab. Das ist numersich erheblich stabiler als der "normale" Differenzenquotient, der einen Fehler in der Ordnung \(O(h)\) aufweist.

Mit der zweiten Ableitung funktioniert das ganz analog:

Wenn wir zur Taylor-Reihe für \(f(c+h)\) diejenige für \(f(c-h)\) addieren, fallen alle ungeraden Ableitungen raus. Wenn wir zusätzlich noch \(2f(c)\) subtrahieren, bleiben nur Terme mit geraden Ableitungen ab 2-ter Ordnung aufwärts übrig. Wir tun das einfach mal:

$$f(c+h)+f(c-h)-2f(c)=2\frac{f''(c)}{2}\,h^2+2\frac{f''''(c)}{24}\,h^4+O(h^6)$$und erhalten daraus eine sehr gute Näherung für die zweite Ableitung, die ebenfalls nur in der Größenorndung \(O(h^2)\) vom tatsächlichen Wert für \(f''(c)\) abweicht:$$f''(c)=\frac{f(c+h)-2\,f(c)+f(c-h)}{h^2}+O(h^2)$$

Damit solltest du nun eigentlich die Aufgaben lösen können ;)

Comments

Hallo,

Schreibfehler? Bei der ersten Ableitung: \(-f(c-h)\) statt \(f(c)\)

Gruß

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Ja, du hast völlig Recht... wird korrigiert ;)

Vielen Dank fürs Bescheid sagen ;)

Answer 2

Ich zeige das mal für den Fall (a1). Das geht mit Taylorreihe

$$ f(c-h) = f(c)-f'(c)h+\frac{1}{2} f''(c)h^2 + \mathcal{O}(h^3) $$

$$ f(c+h) = f(c)+f'(c)h+\frac{1}{2} f''(c)h^2 + \mathcal{O}(h^3) $$

Also $$  \frac{f(c-h)-2f(c)+f(c+h)}{h^2} = f''(c) + \mathcal{O}(h)$$