Aloha :)
Bevor wir loslegen, betrachten wir kurz die Folge$$b_n(y)\;:\!=y^{2n+1}=y\cdot y^{2n}=y\,(y^2)^n=y\,e^{n\ln(y^2)}$$Für \(y\in(-1;1)\) ist die Logarithmusfunktion negativ, sodass \(b_n(y)\) gegen \(0\) konvergiert.
Für \(y=\pm1\) ist \(b_n(\pm1)=\pm1\), also konvergiert \(b_n(\pm1)\) gegen \(\pm1\).
Für \(y<-1\) oder \(y>1\) ist die Logarithmusfunktion positiv, sodass \(b_n(y)\) divergiert.
Die Folge \(b_n(y)\) konvergiert also genau dann, wenn \(y\in[-1;1]\) gilt.
Damit entkoppeln wir unsere 2 Probleme in der Aufgabenstellung:$$a_n(x)=\left(\frac{5x-1}{x^2+5}\right)^{2n+1}=(\,f(x)\,)^{2n+1}\quad;\quad f(x)\;:\!=\frac{5x-1}{x^2+5}$$Nach den Überlegungen von muss \(f(x)\in[-1;1]\) liegen:
$$\left.-1\le\frac{5x-1}{x^2+5}\le1\quad\right|\quad\cdot(x^2+5)$$$$\left.-x^2-5\le5x-1\le x^2+5\quad\right|\quad+x^2+5$$$$\left.0\le x^2+5x+4\le 2x^2+10\quad\right.$$Das sind 2 Ungleichungen, die zugleich erfüllt werden müssen:
$$0\le x^2+5x+4=(x+4)(x+1)$$$$\implies (x+4\ge0\;\land\;x+1\ge0)\;\lor\;(x+4\le0\;\land\; x+1\le0)$$$$\implies (x\ge-4\;\land\;x\ge-1)\;\lor\;(x\le-4\;\land\; x\le-1)$$$$\implies (x\ge-1)\;\lor\;(x\le-4)$$
$$x^2+5x+4\le2x^2+10$$$$\implies0\le x^2-5x+6=(x-3)(x-2)$$$$\implies (x-3\ge0\;\land\;x-2\ge0)\;\lor\;(x-3\le0\;\land\; x-2\le0)$$$$\implies (x\ge3\;\land\;x\ge2)\;\lor\;(x\le3\;\land\; x\le2)$$$$\implies (x\ge3)\;\lor\;(x\le2)$$
Fassen wir alle Bedingungen zusammen erhalten wir als zulässige Lösungen:$$x\in(-\infty;-4]\cup[-1;2]\cup[3;\infty)$$
