Ist f: ℝ→ℝ, f(x) = 8e^-x injektiv?in

Question

Aufgabe:

Ist f: ℝ→ℝ, f(x) = 8e^-x injektiv?

Problem/Ansatz:

Ich bin bis zum Punkt -ln(x1) = -ln(x2) gekommen und weiß nicht weiter. Kann mir bitte wer weiterhelfen?

Beste Grüße und viel Gesundheit an alle!

Answer 1

Aloha :)

Du musst zeigen, dass jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal erreicht wird. Dazu nehmen wir an, es gibt 2 Elemente \(a,b\) aus der Definitionsmenge, die dasselbe Bild haben:$$f(a)=f(b)\implies 8e^{-a}=8e^{-b}\implies e^{-a}=e^{-b}\implies \ln(e^{-a})=\ln(e^{-b})$$$$\implies -a\ln(e)=-b\ln(e)\implies -a=-b\implies a=b$$Es gibt also keine 2 unterschiedlichen Elemente der Definitionsmenge mit demselben Bild. Das heißt, jedes Element der Zielmenge wird höchstens 1-mal erreicht. Die Funktion ist daher injektiv.

Comments

Kann man denn den ln(e) benutzen? Dachte e ist die Basis von ln().

Müsste man vorher nicht e^-x als 1/e^x schreiben?

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Weil \(e\) die Basis von \(\ln()\) ist, gilt ja gerade: \(\ln(e)=1\).