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Aufgabe:

Ist f: ℝ→ℝ, f(x) = 8e^-x injektiv?


Problem/Ansatz:

Ich bin bis zum Punkt -ln(x1) = -ln(x2) gekommen und weiß nicht weiter. Kann mir bitte wer weiterhelfen?


Beste Grüße und viel Gesundheit an alle!

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Aloha :)

Du musst zeigen, dass jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal erreicht wird. Dazu nehmen wir an, es gibt 2 Elemente a,ba,b aus der Definitionsmenge, die dasselbe Bild haben:f(a)=f(b)    8ea=8eb    ea=eb    ln(ea)=ln(eb)f(a)=f(b)\implies 8e^{-a}=8e^{-b}\implies e^{-a}=e^{-b}\implies \ln(e^{-a})=\ln(e^{-b})    aln(e)=bln(e)    a=b    a=b\implies -a\ln(e)=-b\ln(e)\implies -a=-b\implies a=bEs gibt also keine 2 unterschiedlichen Elemente der Definitionsmenge mit demselben Bild. Das heißt, jedes Element der Zielmenge wird höchstens 1-mal erreicht. Die Funktion ist daher injektiv.

Avatar von 152 k 🚀

Kann man denn den ln(e) benutzen? Dachte e ist die Basis von ln().


Müsste man vorher nicht e-x als 1/ex schreiben?

Weil ee die Basis von ln()\ln() ist, gilt ja gerade: ln(e)=1\ln(e)=1.

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