Zeigen Sie, dass x^x zwischen 1 und 3 eine Stelle mit Ableitung 5 hat, ohne die Ableitung zu berechnen.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass \( x^{x}=\exp (x \ln x) \) zwischen 1 und 3 eine Stelle mit Ableitung 5 hat, ohne die Ableitung zu berechnen.

Meine Idee wäre gewesen eine Sekante durch die Funktion mit Steigung 5 zu finden, die zwischen 1 und 3 liegt damit ich dann weiter mit dem Mittelwertsatz argumentieren kann. Was sagt ihr?

Comments

Was sagt ihr?

2 × MWS + 1 × ZWS

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@Gast hj2166

Magst du mir mal helfen? Ich verstehe nicht ganz warum die Funktion anders notiert worden war. Langt es nicht zu wissen, dass

f(x) = x^x
f(1) = 1
f(2) = 4
f(3) = 27

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Langt es nicht

Jetzt muss man nur noch die richtigen Schlüsse daraus ziehen.

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Jetzt muss man nur noch die richtigen Schlüsse daraus ziehen.

Die Schlüsse sind nicht das Problem. Ich habe mich nur gewundert warum x^x als exp(x*ln(x)) umgeschrieben wird´, obwohl es nicht gebraucht wird..

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warum xx als exp(x*ln(x)) umgeschrieben wird

damit man leichter erkennt, dass f eine stetige Ableitung besitzt.

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damit man leichter erkennt, dass f eine stetige Ableitung besitzt.

Vielen lieben Dank.

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Habe hier selten solch einen interessanten Chat verfolgt.

Answer 1

f ( x ) = x^x

f(1) = 1
f(2) = 4
f(3) = 27

Durchschnitt Steigung zwischen
1 und 2 = ( 1- 4 ) / ( 1- 2 ) = 3
2 und 3 = ( 4 - 27 ) / ( 2 - 3 ) = 23

Punkt ( x | f ( x ) )
Nächster Punkt mit h > 0
( x + h ) ^ ( x + h )
Es gilt
( x + h ) ^ ( x + h ) > ( x^x )
Der Funktionswert von f ( x + h ) ist stets größer
f ( x ) ohne Ausnahme
Die Funktion ist stets steigend
Irgendwann ist die Steigung auch 5
3 < 5 < 23