Man beweise, dass die Grenzwerte der Folgen.. sind

Question

Aufgabe:
Man beweise:

a) \( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \sqrt[3]{n+\sqrt{n}} \) - \( \sqrt[3]{n} \) = 0

b) \( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \sqrt[3]{n+\sqrt[3]{n^{2}}} \) - \( \sqrt[3]{n} \) = 1/3

Hinweis:

a - b = \( \frac{a^{3}-b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}} \)


Ich weiß nicht genau, wie ich hier rangehen muss und danke euch im Voraus!

Liebe Grüße

Answer 1

In den Hinweis einsetzen und dann umformen.

\(\begin{aligned} & \sqrt[3]{n+\sqrt{n}}-\sqrt[3]{n}\\ =\, & \frac{n+\sqrt{n}-n}{\sqrt[3]{n+\sqrt{n}}^{2}+\sqrt[3]{n+\sqrt{n}}\sqrt[3]{n}+\sqrt[3]{n}^{2}}\\ =\, & \frac{\sqrt{n}}{\sqrt[3]{n+\sqrt{n}}^{2}+\sqrt[3]{n+\sqrt{n}}\sqrt[3]{n}+\sqrt[3]{n}^{2}}\\ <\, & \frac{\sqrt{n}}{\sqrt[3]{n}^{2}+\sqrt[3]{n}\sqrt[3]{n}+\sqrt[3]{n}^{2}}\\ =\, & \frac{\sqrt{n}}{\sqrt[3]{n}^{2}+\sqrt[3]{n}^{2}+\sqrt[3]{n}^{2}}\\ =\, & \frac{n^{\frac{1}{2}}}{3\cdot n^{\frac{2}{3}}}\\ =\, & \frac{1}{3n^{\frac{1}{6}}} \end{aligned}\)

Comments

Vielen Dank für die Antwort.

Aufgabe b) verläuft ja dann analog. Komme mit deiner Antwort auch auf die Lösung \( \frac{1}{3} \).

Liebe Grüße