Sind die folgenden Folgen konvergent oder divergent? Berechnen sie gegebenenfalls die Grenzwerte.

Question

Aufgabe:

(n/2ⁿ) n∈N

Problem/Ansatz:

ich habe leider gar keine Idee, wie ich diese Aufgabe lösen kann...

Answer 1

Hallo

Versuchs mal mit n=10, dann 100, dann kommt dir vielleicht eine Idee-

du musst nur ein n angeben, so dass der Ausdruck <ε ist.

Gruß  lul

Answer 2

Aloha :)

Für \(n\ge2\) können wir mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes abschätzen:

$$2^n=(1+1)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}1^{n-k}1^k=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}>\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\implies$$$$\frac{1}{2^n}<\frac{2}{n(n-1)}\implies\frac{n}{2^n}<\frac{2}{n-1}\to0$$

Die Folge konvergiert also gegen \(0\).