Berechne näherungsweise die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim gleichzeitigen Werfen 20 idealer Würfel die …

Question

Aufgabe:

Berechne näherungsweise die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim gleichzeitigen Werfen 20 idealer Würfel die Augensumme größer als 64 und kleiner als 76 ist.

Problem/Ansatz:

(x-μ/sigma)

Erwartungswert:20mal1/6=10/3

Standardabweichung:10/3mal5/6=25/9

Answer 1

Was du berechnet hast, ist der Erwartungswert und die Standardabweichung für die Anzahl an z.B. 6en bei 20 Würfen. Ist dir das klar, das dies mit der Augensumme nichts zu tun hat?

Also ich würde zunächst anfangen den Erwartungswert und die Standardabweichung der Augensumme bei 20 Würfen zu ermitteln.

Comments

das heißt erst die relative häufigkeit der augensummen ausrechnen und dann mit dieser Wahrscheinlichkeit denn erwartungswert ausrechnen

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Mach das eventuell zunächst nur für einen Wurf. Da ist der Erwartungswert und die Varianz sehr leicht zu berechnen.

Ich komme bei der Wahrscheinlichkeit ungefähr auf 53%

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ich bin jetzt verwirrt, da ich keine Ahnung habe wie ich die ganzen Kombination der Augensummen ausrechnen soll

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ich bin jetzt verwirrt, da ich keine Ahnung habe wie ich die ganzen Kombination der Augensummen ausrechnen soll

Für zwei Würfel geht das auch noch recht einfach. Aber ab da wird es schwierig. Daher sollst du es auch nur näherungsweise machen.

Mach das also zunächst nur für EINEN Wurf. Da ist der Erwartungswert und die Varianz der Augensumme sehr leicht zu berechnen.

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der Erwartungswert für 1 Würfel 1mal1/6 und die Varianz dann 5/6mal1/6

Varianz 5/36

Erwartungswert 1/6

??

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Wie rechne ich denn den Erwartungswert für die Augensumme?

Habe leider keine Ahnung ;(

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Das hab ich schon oben gesagt das das nicht funktioniert

n * p = 1 * 1/6 ist z.b. der Erwartungswert für die Anzahlen an Sechsen bei einem Wurf. Wie gesagt das hat mit der Augensumme nichts zu tun. Wenn du einen Würfel wirfst welche Augenzahl wirst du dabei im Mittel erwarten. Und sicher sollte das ein Wert von 1 und 6 sein oder nicht?

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Lies eventuell dazu folgende Seite.

https://de.wikipedia.org/wiki/Erwartungswert

Danach weißt du es vielleicht ohne selbst gerechnet zu haben.

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Für einen Würfel wäre das E(X)=1+2+3+4+5+6/6=3.5, da man alle Ergebnisse addieren muss und dann durch die Gesamtanzahl teilen

Dann wäre n*p=3.5

Aber wie komme ich dann auf sigma

E(X)=20mal 3.5=70

V(X)= ?

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Genau.

E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3.5

Achte bei Brüchen darauf das Zähler und Nenner eventuell zu Klammern sind.

Für die Varianz schaust du unter

https://de.wikipedia.org/wiki/Varianz_(Stochastik)#Varianz_bei_diskreten_Zufallsvariablen

Dort findest du es zwar nicht für einen Würfel vorgemacht aber die allgemeine Formel an die du dich halten kannst.

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ist dann sigma ²  gleich der Standardabweichung?

oder muss ich noch die wurzel ziehen?

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σ^2 ist die Varianz. Du brauchst also noch die Wurzel. Oder aber du rechnest nachher mit der Varianz erstmal weiter. Das ist einfacher.

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sigma ² =(1-3.5) ²  +....+(20-3.5)²  =1645

70/1645=0,042553

heißt das die Wahrscheinlichkeit für die Augensummen ist 4,255% ?

wurzel aus 1645 ist 40.558

70/40.558=1.7259    ???

1.7259*1/sigma=0,042553   ??

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sigma 2 =(1-3.5) 2  +....+(20-3.5)2  =1645

Eine Auganzahl von 20 gibt es nicht. weiterhin hast du auch die Wahrscheinlichkeiten vergessen.

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1645*1/6=274.167

70/274.167=0.255

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Die Augensumme eines Würfels ist ganz ganz grob näherungsweise normalverteilt mit den Parametern

μ = 1·1/6 + 2·1/6 + 3·1/6 + 4·1/6 + 5·1/6 + 6·1/6 = 3.5

σ^2 = (1 - 3.5)^2·1/6 + (2 - 3.5)^2·1/6 + (3 - 3.5)^2·1/6 + (4 - 3.5)^2·1/6 + (5 - 3.5)^2·1/6 + (6 - 3.5)^2·1/6 = 35/12

Die Augensumme zweier Würfels ist ganz ganz grob näherungsweise normalverteilt mit den Parametern

μ = 2·1/36 + 3·2/36 + 4·3/36 + 5·4/36 + 6·5/36 + 7·6/36 + 8·5/36 + 9·4/36 + 10·3/36 + 11·2/36 + 12·1/36 = 7

σ^2 = (2 - 7)^2·1/36 + (3 - 7)^2·2/36 + (4 - 7)^2·3/36 + (5 - 7)^2·4/36 + (6 - 7)^2·5/36 + (7 - 7)^2·6/36 + (8 - 7)^2·5/36 + (9 - 7)^2·4/36 + (10 - 7)^2·3/36 + (11 - 7)^2·2/36 + (12 - 7)^2·1/36 = 35/6

Nun könnte man ja mal die beiden Ergebnisse Vergleichen und ein Gesetz dahinter Vermuten. Dieses bestätigt sich dann auch durch eine Recherche im Internet, wenn man es nicht ohnehin schon in der Uni gelernt und nicht vergessen hat.

Die Augensumme von 20 Würfeln ist also vermutlich grob näherungsweise normalverteilt mit den Parametern

μ = 20·3.5 = 70
σ^2 = 20·35/12 = 175/3

Die Wahrscheinlichkeit für eine Augensumme größer als 64 und kleiner als 76 ist demnach näherungsweise

Φ((75.5 - 20·3.5)/√(20·35/12)) - Φ((64.5 - 20·3.5)/√(20·35/12)) = 0.5285 = 52.85%

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Danke vielmals

Aber warum teils du hier durch 12

σ^2 = 20·35/12 = 175/3

Zitat:"wenn man es nicht ohnehin schon in der Uni gelernt und nicht vergessen hat."

Ich bin noch Schüler in der 12 Klasse :) Danke das ich Unistoff im Abitur lerne.;)

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Die Varianz beim Werfen eines Würfels war 35/12. Ich nehme diese Varianz nur einfach mal 20 um die Varianz beim Wurf von 20 Würfeln zu bekommen.

Und wenn das bei dir im Abi dran kommt, dann habt ihr entweder einen sehr ehrgeizigen Lehrer oder wir Hamburger hinken den anderen Bundesländern doch stark hinterher :)

Aber ihr werdet vermutlich nicht einfach so aus heiterem Himmel so eine Aufgabe vom Lehrer bekommen ohne nicht ein paar Grundlagen gemacht zu haben. Es sei denn das sind bewusst Denksportaufgaben / Wettbewerbsaufgaben um Euren Horizont zu erweitern.

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Habe einen älteren Herren alsLehrer der selbst Mathe und Physik studiert hat und mit einem sehr alten Mathebuch unterrichtet.

Φ((75.5 - 20·3.5)/√(20·35/12)) - Φ((64.5 - 20·3.5)/√(20·35/12)) = 0.5285 = 52.85%

Wir habe immer mit ganzen Zahlen gerechnet, wegen der Binomialverteilung, also von 65 bis 75 und da kommt bei mir 0.4873 raus.

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Ich finde es immer gut, wenn der Unterricht nach einem Buch stattfindet. Allerdings ein Lehrbuch was alle Schüler zur Verfügung haben und worin sie auch nochmal etwas nachlesen könnten. Auch sollte der Unterricht größtenteils nach Lehrplan erfolgen. D.h. das alle Abschlussrelevanten Dinge gelehrt werden. Wenn darüber hinaus noch Zeit für ein paar schöne Aufgaben ist, sollte das kein Problem sein.

Auch unsere Lehrerin hat mit uns damals in der Oberstufe komplexe Zahlen gemacht, obwohl die nicht Abirelavant waren.