Fresnelsche Integrale lösen

Question

Moin Leute, ich muss zeigen, dass für die Fresnel Integrale

$\int \limits_{0}^{\infty} \cos \left(t^{2}\right) \mathrm{d} t=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{2}}=\int \limits_{0}^{\infty} \sin \left(t^{2}\right) \mathrm{d} t$
gilt. Weiß jemand, wie man hier vorgeht?

Des Weiteren muss ich noch das hier lösen, was auf a) folgt
$\int \limits_{0}^{\infty} \frac{\sin (t)}{\sqrt{t}} \mathrm{~d} t \quad \text { und } \quad \int \limits_{0}^{\infty} \frac{\cos (t)}{\sqrt{t}} \mathrm{~d} t$
aus Teil (a).

Falls einer helfen kann, wäre ich euch sehr dankbar!

Comments

Hallo Tom, das hast du doch gerade erst auf dem mathe-planeten gefragt.

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Solche Integrale kannst du mithilfe der Funktionentheorie lösen.

Answer 1

Integriere die komplxe Funktion $e^{-z^2}$ über den geschlossenen Weg $\gamma(t) = \gamma_1(t)+ \gamma_2(t) +\gamma_3(t)$

$$(1) \quad \gamma_1(t) = t, \ \ t \in [0,R]$$

$$(2) \quad \gamma_2(t) = R e^{i\varphi}, \ \ \varphi \in \left[0, \frac{\pi}{4} \right]$$ und

$$(3) \quad \gamma_3(t) = t e^{ i \frac{\pi}{4}}, \ \ t \in [R,0]$$

und bedenke das $$\int_{\gamma} e^{-z^2} dz = \int_{\gamma_1} e^{-z^2} dz + \int_{\gamma_2} e^{-z^2} dz + \int_{\gamma_3} e^{-z^2} dz = 0$$ gilt.

Comments

Ullim, vielen Dank, habe verstanden!