Kann das so überhaupt stimmen (Logarithmusumformung)?

Question

ich habe diese Umformung in einer Übung mitgeschrieben und denke, einen Fehler bei der Mitschrift gemacht zu haben.

$$L(\lambda,k_1,...,k_n)=exp(-n\lambda) \frac{\lambda^{\sum \limits_{i=1}^{k}k_i}}{\prod \limits_{n=0}^{nf}k!}\Longleftrightarrow l(\lambda,k_1,...,k_n)=-\lambda*n+{\sum \limits_{i=1}^{n}k_i} log(\lambda)+\sum \limits_{i=1}^{n}log(\lambda)+\sum \limits_{i=1}^{n}log(k!)$$

Ich verstehe nicht so ganz, woher das $$+\sum \limits_{i=1}^{n}log(\lambda)$$ kommt und warum die letzte Summe nicht abgezogen, sondern addiert wird...

Kann das so überhaupt stimmen?

Answer 1

Erstmal sollte geklärt werden ob der Nenner wirklich $$ \prod_{n=0}^{n_f} k! $$ lauten soll. Denn dann hängt das hinter dem Produktzeichen ja gar nicht von \( n \) ab. Ist das also richtig oder falsch?

Comments

Hey vielen Dank für die Nachfrage, du hast wirklich recht dass es falsch ist, ich habe ca. vergessen die Latexvorlage zu ändern. Das Produkt läuft von i=1 bis n. Tut mir leid für die Verwirrung, der Rest sollte jetzt stimmen:)

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Aber \( i \) kommt doch auch nicht vor in dem Produktausdruck. Muss da nicht \( n \) stehen? $$  \prod_{n=0}^{n_f} n!   $$ oder so $$  \prod_{i=0}^{n} i! $$

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Nein, da steht wirklich k! :(

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Die ersten beiden Summanden sind ok. Die beiden letzten ergeben $$ n \log(\lambda) + n \log(k!) = n \log ( \lambda k!) = \log(\lambda k!)^n = \prod_{i=1}^n \lambda k! = \lambda \prod_{i=1}^n k! $$ Da das Produkt aber im Nenner steht, also \( ()^{-1} \) muss irgendwo noch eine \( -1 \) auftauchen und eben noch das \( \lambda \).

Ich denke Deine Mitschrift ist nicht ganz korrekt.

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Dankeschön:)