Extremwertaufgabe: Quadratische Funktion

Question

Aufgabe:

Ich komme bei der folgenden Aufgabe nicht weiter:

Die Parabel y=x²-2*x+3 wird von der Geraden y=a*x+5 in den Punkten X und Y geschnitten. Bestimmen Sie den Wert von a, für den die Summe der Abstände der beiden Punkte von der x-Achse möglichst klein ist.

Problem/Ansatz:

Anscheinend handelt es sich dabei um eine Extremwertaufgabe.

Answer 1

x² - 2·x + 3 = a·x + 5 = --> (a + 2 ± √(a² + 4·a + 12))/2

d = a·(a + 2 - √(a² + 4·a + 12))/2 + 5 + a·(a + 2 + √(a² + 4·a + 12))/2 + 5

d = a² + 2·a + 10

d' = 2·a + 2 = 0 → a = -1

Answer 2

hallo

 1. Schneide  Parabel und Gerade, du findest 2 Schnittpunkte in Abhängigkeit von a. addiere die 2 yWerte der Schnittpunkt, suche das Minimum.

Gruß lul

Answer 3

Setz die Terme gleich und berechne x1 und x2.

$x_1=\frac{1}{2}\left(-\sqrt{a^{2}+4 a+12}+a+2\right)$

$x_2=\frac{1}{2}\left(\sqrt{a^{2}+4 a+12}+a+2\right)$

Berechne beide y-Werte.

Die Summe beider y-Werte ist die Zielfunktion, deren Minimum bestimmt werden muss.

$y=a^2+2a+10$

usw.

:-)

Answer 4

Berechne die beiden Schnittpunkte $( x_1(a) | y_1(a) )$ und $(x_2(a) | y_2(a))$ und dann die Länge $L(a) = y_1(a)+y_2(a)$

Minimiere die Funktion $L(a)$ durch Nullsetzenn der ersten Ableitung von $L(a)$ nach $a$

Kontrollergebnis $a = -1$

Answer 5

Die Parabel y=x²-2*x+3 wird von der Geraden y=a*x+5 in den Punkten X und Y geschnitten. Bestimmen Sie den Wert von a, für den die Summe der Abstände der beiden Punkte von der x-Achse möglichst klein ist.

$$a*x+5=x^2-2x+3$$

$$x^2-(2+a)x-2=0$$

$$x_1=1+0,5a+0,5 \sqrt{(2+a)^2+8}$$

$$x_1=1+0,5a+0,5 \sqrt{a^2+4a+12}$$$$y_1=a*x_1+5$$$$y_1=a(1+0,5a+0,5 \sqrt{a^2+4a+12})+5$$$$x_2=1+0,5a-0,5 \sqrt{a^2+4a-4}$$$$y_2=a(1+0,5a-0,5 \sqrt{a^2+4a+12})+5$$$$s(a)= y_1+y_2= a(2+a)+10=a^2+2a+10$$$$s'(a)=2a+2=0$$$$a=-1$$

$$x_1(-1)=0,5+0,5 \sqrt{1-4+12}$$$$x_1(-1)=0,5+0,5 \sqrt{9}$$$$x_1(-1)=0,5+0,5 *3=2$$$$y_1(-1)=-1*2+5=3$$$$x_2(-1)=0,5-0,5 \sqrt{9}$$$$x_2(-1)=0,5-0,5 *3=-1$$$$y_2(-1)=-1*(-1)+5=6$$$$s(-1)=y_1(-1)+y_2(-1)=3+6=9$$