Matrix einer Identitätsabbildung zweier Basen

Question

Aufgabe:

Sei B=(b1,b2,b3) eine Basis des R3.
Sei C=(c1,c2,c3) die Basis mit c1:=−b1, c2:=b1+b2 und c3:=−b1−b2+b3.
Weiter sei ϕ=idR3:R3→R3;x↦x die Identitätsabbildung.


a) Geben Sie eine Matrix A∈Mat(3×3,R) an, welche die Abbildung ϕ bezüglich der Basen C und B beschreibt, wobei C als Basis des Definitionsbereichs und B als Basis des Wertebereichs gewählt wird.

b) Geben Sie eine Matrix A′=∈Mat(3×3,R) an, welche die Abbildung ϕ bezüglich der Basen B und C beschreibt, wobei B als Basis des Definitionsbereich und C als Basis des Wertebereichs gewählt wird.

Problem/Ansatz:

Leider habe ich keine Ahnung wie ich diese Aufgabe angehen soll. Was hat es im besonderen mit der Identitätsabbildung auf sich?

Answer 1

a)   Du musst nur die Bilder der Basis C durch die Basis B darstellen.

id(c1) = c1 = -b1 =  -1*b1+0*b2+0*b3 . Also ist die erste Spalte

der Matrix

-1
0
0

Jetzt das Bild von c2, also id(c2)=c2=b1+b2=1*b1+1*b2+0*b3,

also kommt als 2. Spalte hinzu

-1   1
0    1
0    0

etc für c3.

Für b) recherchiere mal "Basiswechsel bei lin. Abbildung"

Comments

Vielen Dank,

ist ja gar nicht so schwer;)

Ich habe jetzt als Lösung

A=

-1	1	-1
0	1	-1
0	0	1

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Das passt ja.