Umgekehrte Dreiecksungleichung für Normen

Question

Aufgabe ist es, die umgekehrte Dreiecksungleichung für beliebige Normen im Κⁿ zu beweisen:

| ||x||−||y|| | ≤ ||x−y||

Mit Hilfe der Dreiecksungleichung bin ich so weit, dass ich

||x|| - ||y|| ≤ ||x-y||

||y|| - ||x|| ≤ ||y-x||

zeigen kann.

Wie geht es jetzt aber weiter?

Answer 1

Aloha :)

Du bist doch fertig... Manchmal sieht man den Schatz nicht, wenn man vor ihm steht:$$\|x\|-\|y\|\le\|x-y\|$$$$\|y\|-\|x\|\le\|y-x\|\implies-\left(\|x\|-\|y\|\right)\le\|y-x\|=\|x-y\|$$Das heißt:$$-\left(\|x\|-\|y\|\right)\le\|x-y\|\quad\text{und}\quad\left(\|x\|-\|y\|\right)\le\|x-y\|$$also ist doch$$\operatorname{abs}\left(\|x\|-\|y\|\,\right)\le\|x-y\|$$

Comments

Vielen Dank, mir war das mit der Symmetrie noch nicht klar. :-)