Eine Gruppe von 5 Personen trinken an einem Samstag 10 Cocktails. Wie oft muss die Gruppe das Spiel mit dem …

Question

In einer Bar gibt es jeden Samstag Abend ein Würfelspiel. Hierbei kann der Barbesucher seinen bestellten Cocktail umsonst trinken, wenn er gewinnt.

Die Regeln sind einfach: Barkeeper und Kunde würfeln einen sechsseitigen, nichtgezinkten Würfel. Würfelt der Besucher eine höhere Zahl als der Barkeeper, gewinnt er.

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Zunächst lässt sich feststellen, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit für einen Kunden bei \(p=\frac{5}{12}\) liegt. Diese wird für alle Teilaufgaben relevant sein.

Eine Gruppe von 5 Personen trinken an einem Samstag 10 Cocktails. Wie oft muss die Gruppe das Spiel mit dem Barkeeper spielen, damit sie zu mindestens 95% zehn Cocktails gewinnen?

Meine Lösung (mit Interpretationsschwierigkeiten der Frage)

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Gruppe von 5 Personen 10 Cocktails gewinnt, liegt bei: \(p=\left(\frac{5}{12}\right)^{10}\).

Der durchschnittliche Preis für einen Cocktail beträgt 6,90€. Die Kosten für diesen inklusive dem Lohn für den Barkeeper sind für den Betreiber der Bar etwa 4€. Ein durchschnittlicher Gast trinkt 1,5 Cocktails. An einem Freitag (ohne dieses Angebot) trinken die Gäste am Abend etwa 120 Cocktails.

Wie viele Gäste mehr müssen durch das besondere Spiel angelockt werden, damit sich dieses für den Betreiber der Bar lohnt?

Meine Lösung:

An einem normalen Abend (d. h. ohne Spiel) macht der Betreiber der Bar einen Umsatz von \(6.9\cdot 120-4\cdot 120 = 348 \text{ EUR}\). Das Spiel lohnt sich also genau dann, wenn der Umsatz mit Spiel höher als \(348 \text{ EUR}\) ist.

Ich habe als Umsatzfunktion abhängig von den Gästen \(n\) folgende Funktion aufgestellt:$$U(n)=\frac{7}{12}\cdot 6.9\cdot n-4\cdot n\geq 348$$ und erhalte dann \(n=13920\). Das klingt unrealistisch, weshalb ich denke, einen Fehler gemacht zu haben.

Ein Gast ist ein Halunke, der mogelt. Er nutzt die Unaufmerksamkeit des Kellners aus, indem er seinen Wurf zunächst unter dem Würfelbecher heimlich betrachtet und bei einer gewürfelten 1-3 den Würfel nochmal unbemerkt würfelt.

Wie ist nun seine Gewinnchance?

Meine Lösung:

Ich habe alle Fälle einzeln durchgespielt und komme aber auf 121/216

Wie würdet ihr die Aufgaben angehen?

Hinweis: Diese Aufgaben sind schon seit über zwei Jahren ungelöst auf serlo zu finden.

(Quelle: Klicke hier )

Answer 1

Bevor ich mich an deine Aufgabe setze habe ich mir erstmal die Aufgabe bei Serlo durchgelesen. Das hast du auch gemacht. Denkst du nicht auch das zumindest in einer Lösung ein Fehler drin ist.

Man braucht also n = 18992 Runden.

bei 18992 Runden erwarte ich 18992*5/12 = 7913 gewonnene Cocktails. Wie schlecht müsste es jetzt wohl laufen das ich von diesen erwarteten nur 10 bekomme.

Ich hätte 34 Runden heraus. Du kannst ja mal Ausrechnen wie groß die Wahrscheinlichkeit ist das man beim spielen von 34 Runden mind. 10 Cocktails gewinnt.

und erhalte dann \(n=13920\). Das klingt unrealistisch, weshalb ich denke, einen Fehler gemacht zu haben.

n ist dabei die Anzahl der Spiele die gemacht werden müssten. das ist soweit denke ich richtig. Es müssten damit 9200 Personen mehr als die 80 in die Bar gelockt werden. Das kann man also vergessen.

Würfelt er eine \(5\), gibt es \(4\) Möglichkeiten, man kann eine \(1,2,3\) würfeln (und dann eben nochmal) und eine \(6\)

Und wenn man eine 1,2 oder 3 wirt und dann nochmal und hat dann automatisch eine Höhere Zahl als der Barkeeper? Nein. Das funktioniert so nicht. Ich würde hier auf 13/24 kommen.

Comments

Es steht dort, dass wenn er beim ersten Wurf eine 1 bis 3 wirft nochmal würfelt. Das dieses so lange wiederholt wird bist dort eine 4 bis 6 steht steht dort aber auch nicht. Ich gehe davon aus, dass nur ein weiteres mal gewürfelt wird.

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Okay, wie bist du dann vorgegangen? Hast du jeden Fall separat durchgespielt?

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Berechnung gemäß Baumdiagramm

Hat er am Anfang eine 1 bis 3 geworfen wirft er einfach nochmal und gewinnt wie bisher mit einer Wahrscheinlichkeit von 5/12

Liegt allerdings eine 4 bis 6 unter dem Becher, dann wirft er nicht nochmal und es gilt eine erhöhte Gewinnwahrscheinlichkeit.

Dann berechnet man daraus die Gewinnwahrscheinlichkeit für den ganzen Baum. Wenn ich mich nicht verrechnet habe, hast du oben bereits eine Vergleichslösung von mir. Solltest du auf etwas anderes kommen, dann melde dich mal mit deiner Rechnung.

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Sei k die Anzahl der Würfelaugen des Barkeepers:

Für k=6: 0/6

Für k=5: 1/6+3/6*1/6

Für k=4: 2/6+3/6*2/6

Für k=3: 3/6+3/6*3/6

Für k=2: 4/6+2/6*4/6

Für k=1: 5/6+1/6*5/6

Dann alle Warhscheinlichkeiten addieren und durch 6 teilen. Ich erhalte 121/216.

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Mach dir mal ein Baumdiagramm. Vermutlich siehst du dann schon deinen Fehler.

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Hab's jetzt.