Lineare Unabhängigkeit bei Vektoren- Dimension und Basis bestimmen

Question

Ich habe eine Frage bezüglich folgender Aufgabe:

Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig, d.h. spannen Sie jeweils einen Vektorraum der Dimension 3 auf?
Begründen Sie.

Wenn die Vektoren linear abhängig sind, geben Sie die Dimension und eine Basis des Vektorraumes an.

a)

Text erkannt:

\( \left\{\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)\right\} \)

b)

Text erkannt:

\( \left\{\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)\right\} \)

Antwort:

a)

Hier habe ich die Determinante berechnet, welche ungleich 0 ist. Die Vektoren sind somit linear unabhängig.

Ist das die Lösung? Was meinen die mit "spannen Sie jeweils einen Vektorraum der Dimension 3 auf"?

b)

Hier habe ich mit dem Gauß-Verfahren die letzte Zeile auf 0 bringen können. Die Vektoren sind hier also linear abhängig.

Wie gebe ich jetzt die Dimension und eine Basis des Vektorraumes an?

Ich bedanke mich im voraus für alle Antworten :)

Answer 1

Aloha :)

Bei der (a) kannst du so argumentieren, wie du es getan hast. Die Determinante einer \(n\times n\)-Matrix gibt immer das \(n\)-dimensionale Volumen an, das die Spalten- oder Zeilenvektoren aufspannen. Wenn die Determinante einer \(3\times3\)-Matrix also \(\ne0\) ist, hast du ein 3-dimensionales Volumen und damit einen 3-dimensionalen Raum.

Bei der (b) würde ich die linearen Abhängigkeiten der Vektoren herausrechnen und eine Basis für den durch sie aufgespannten Raum ermitteln. Das geht erstaunlich einfach. Schreibe dazu die Vektoren als Spalten nebeneinander. Dann bringst du die entstandene Matrix mit elementaren Spalten-Umformungen auf Dreieck-Gestalt. Nur die von Null verschiedenen Spalten werden benötigt, um alle ursprünglichen Vektoren daraus bilden zu können.

$$\begin{array}{rrr}-S_3 & &\\\hline1 & 0 & 1\\2 & 1 & 0\\4 & 2 & 0\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrr}-2\cdot S_2 & &\\\hline0 & 0 & 1\\2 & 1 & 0\\4 & 2 & 0\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrr} & \vec b_1 & \vec b_2\\\hline0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\0 & 2 & 0\end{array}$$

Es sind also 2 Basis-Vektoren übrig geblieben. Der von den 3 ursprünglichen Vektoren aufgespannte Vektorraum hat daher die Dimension \(2\) und alle Vektoren dieses Vektorraums können als Linearkombination von \(\vec b_1\) und \(\vec b_2\) geschrieben werden.

Comments

vielen Dank!!

ich hab noch eine kleine Frage zur Spaltenumformung. Wieso haben sie die elementare Spaltenumformung benutzt und nicht das Gauß-Verfahren?

---

Man kann auch das Gauß-Verfahren, also Zeilen-Umformungen nutzen. Dann muss man die Vektoren aber als Zeilenvektoren aufschreiben. Ich verwende gerne Spaltenvektoren, ist aber mehr eine persönliche Vorliebe.