Gleichmächtigkeit unendlicher Mengen

Question

Aufgabe:Beweisen Sie jeweils durch explizite Angabe einer Bijektion (samt Nachweis
der Bijektivität):
a) (1 P.) |N∗| = |N|.
b) (2 P.) |N| = |N × {0, 1}|.
c) (3 P.) |N| = |N × N|.

Problem/Ansatz:

Aufgabe a habe ich meines ERachtens nach schon gelöst und habe Ansätze bei b bei c stehe ich jedoch komplett auf dem schlauch.

Außerdem:

Stimmt es, dass Aufgabe b mit, Die natürlichen Zahlen und die ganzen Zahlen sind gleichmächtig, gleichbedeutend ist? Und stimmt es, dass Aufgabe c mit, die natürlichen Zahlen und die rationalen Zahlen sind gleichmächtig, gleichbedeutend ist?  

Answer 1

Hallo

ja die Paare in c kannst du ja wie Brüche abzählen, die ja auch Paare von Zahlen aus N sind

b) stell dir alle Paare mit (0,n) als negativ, die mit (1,n) als positiv

und dann kannst du jeweils dieselbe Zuordnung machen sie einen auf die geraden, die anderen auf die ungeraden Zahlen aus N abbilden. bei c eben das bekannte diagonalverfahren, oder sich - falls schon gezeigt darauf berufen indem man (n,m) wie n/m behandelt.

Gruß lul

Comments

Danke für die schnelle Antwort.

Ich weiß wie ich es bei den ganzen und natürlichen Zahlen darstellen würde nämlich:

(n+1)/2 für ungerade

-(n/2) für gerade

Iich verstehe nur nicht wie ich es dann für (n,1) und (n,0) darstellen kann.

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Hallo

ups, die hatte ich vergessen!

(die Bildes du erstmal auf die negativen entsprechenden Zahlen ab. dann hast du auf Z abgebildet und das bildest du dann weil schon bekannt auf N ab.)

oder du teilst N in 4er Gruppen ab: 1+0,2+0,3+0,4+0,.... 1+n,2+n,3+n,4+n

Gruß lul

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Danke

Ich habe das nicht wirklich verstanden kannst du das einmal exemplarisch darstellen?